測地線
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測地線(そくちせん)とは、二点を結ぶ曲線のうち、測地的曲率が常に0となる曲線のことである。
測地線の中でその長さが二点間の距離に等しくなるものを最短測地線という。
測地線の定義は他にもあるが、以下に述べる。
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[編集] 概要
概要として、単純な例を示す。
計量などは自然なものが入っているとし、数学的な細かい設定は書かない。
我々は地球の表面という球面に近い世界で暮らしている。球面上の点を端点とする任意の半直線に沿って移動しようとすればすぐに宇宙へ出てしまうか、地中へもぐってしまうかのいずれかになる。球面上に直線は無いが、球面上で直線のような性質を持つ曲線の一つに大円がある。東京とニューヨークの間を最短距離で移動するためには、東京とニューヨークを通る大円に沿った移動を行えばよく、この大円の一部こそ、測地線と呼ばれるものになる。
測地的曲率とはその名の通り曲率の一種であり、曲線上のある一点の近傍での情報。この局所的な情報の集まりが、大域的な形として大円を選んでいるのである。
しかしながら、一般に、大円をその上の2点で分けると優弧と劣弧に分かれる。東京からニューヨークへ大円に沿った移動をしても、東京からニューヨークに行くには大円の周り方によって遠い移動と近い移動とある。この場合、劣弧に沿って移動すれば最短距離、優弧に沿えば直線的な移動としては最も遠回りになるわけである。大円の一部である弧は測地線となるが、必ずしも二点間の最短距離を示す曲線とはならない。
逆に二点間の最短距離を示す曲線は測地線となるので、二点を結ぶ測地線の中で最短のものが二点の最短距離を示すと考えてよい。その意味で、測地線というのは、二点間の最短距離を測るための曲線の候補の集まりであるともいえる。
ちなみに、二点を北極と南極のような対極の位置に取れば、この二点を結ぶ最短測地線は無数にあることにも注意されたい。
[編集] 測地線の方程式
リーマン多様体上の微分可能な曲線x(τ)が、
を満たすとき、x(τ)を測地線という。
ここでΓμαβは計量から 計算されるアフィン接続である。τはx(τ)の始点からの長さを表す弧長パラメータであり、アフィンパラメータとも呼ばれる。たとえば、3次元の空間が平坦である場合は、gμν = diag(1,1,1)であり、接続はすべて0となる為、測地線の方程式は単に 
となる。つまり、xμはτの1次式であり 通常の直線の方程式を表すものとなる。
この方程式は、最短測地線の満たすべき「二点間の最短距離を示す」という性質、或いは、「測地線 x(τ)の接ベクトル場はレヴィ-チビタ接続(リーマン接続)に関して平行である」という性質により導かれる。
繰り返しになるが、微分方程式は局所的な情報を与えるものなので、大域的な曲線の長さなどを表すものではなく、したがってこの方程式で定義される測地線が必ずしも最短測地線とはならないことに注意されたい。
[編集] 応用例
さて、一般相対論では時空を4次元の擬リーマン多様体として記述するが、時空上のテスト粒子（時空への重力的な反作用を与えない仮想的な質点。電荷やスピンなどの性質は通常持たないと考える）や光の経路は測地線で記述される、と考えている。いわゆる自由落下している物体の軌跡が測地線で表されると考えるのである。たとえば、地上でボールを放り投げたときに描く放物線も4次元の時空の中でその軌跡を捉えれば測地線である。 一般相対論では測地線は時空の因果構造を定義するときに重要な役割を果たす。ブラックホールの定義や特異点定理、そのほか数学的な時空の定式化には欠かせない道具である。
