ノート:円周率

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目次 1 「円の大きさに関係なく一定の値をとる」について 2 多くの桁の掲載について 3 暗誦の記録について 4 円周率という言葉とπという数学定数について 5 35桁までの制限について 6 動的システム/エルゴード理論について 7 「定義」について

[編集] 「円の大きさに関係なく一定の値をとる」について

円周率は円周の直径に対する「比」であるというのが定義であってそれ以外はありません。比である以上円の大きさによらず値が変わらないのは定義ではなく自明な事実なので、簡潔な説明にするには冒頭でそれをわざわざ値が変わらないという一文を入れる必要は無いのではと思いました。不適切でしたら変更をお願いします。

旧約聖書に円周率が 3 とある、云々の記述を削除しました。これは列王紀上 7章23節 のことと思われますが、ここでは単に、エルサレム神殿内におかれた円形の鋳物「海」の直径と円周の尺が記されているに過ぎません。円形の直径と円周を素直に計ったら、結果として、比が 3.14 に近づくのは当然であって、円周率を意識していたと考える積極的な根拠はありません。

[編集] 多くの桁の掲載について

外部リンクで100万桁掲載されているのに、中途半端1000桁掲載する意味が分かりません。何故1000桁なのでしょうか？通常使用される桁数以上掲載するのに何か意味があるのでしょうか？スペースの無駄使いにしか感じません。ウィキペディアは百科事典です。どうしてもたくさんの桁を掲載したいなどの用途にはWikisourceをご利用ください。既に100万桁が掲載されていますが。--2004年9月11日 (土) 05:19 (UTC)

[編集] 暗誦の記録について

円周率の暗誦記録とかコンピュータで算出した記録というのはよくあるけど、自然対数の底でやる人はいないんでしょうか?220.109.63.126 2005年7月9日 (土) 13:42 (UTC)

[編集] 円周率という言葉とπという数学定数について

どう習ったか,どう教科書に書いてあったかまるっきり忘れてしまったので一応ここにメモしておきますけど、数学用語としての「円周率」は「ユークリッド幾何学における」という限定詞付きで定義される用語なのですか?あるいは、「非ユークリッド幾何学において、円周率の値がπ以外の値となることがある。」とか、「球面上での円周率は常にπより小さい」などといった表現は数学用語の使い方として許されるのですか?yhr 2005年8月8日 (月) 16:45 (UTC)

数学用語としての円周率は、二次元ユークリッド幾何学で定義されるものです。普通はユークリッド空間を扱っている教科書・項目などで定義されるので「ユークリッド幾何学における」という修飾はする必要が無い場合の方が多いと思います。非ユークリッド幾何学という言葉をどういった意味で用いているのかよく分からないですが、一般の距離空間では、円周率というものを考える意味が無い場合が多いので、あまり用いられないと思います。一般的な用語として扱うのはよくないです。許されるかどうかで言えば、それよりも前に「その幾何学での円周率」を定義しているならば問題はありません。--１３２人目 2005年8月10日 (水) 03:24 (UTC)

「非ユークリッド幾何学」として想定したのは、ユークリッド幾何学の公理のうち平行線の公理だけを書き換えたようなタイプのものを想定していました。説明不足ですみません。質問内容に関しては大体理解できましたが、まだ、円周率という用語と、πという数学定数の間の関係が判然としない気もしています。yhr 2005年8月10日 (水) 10:52 (UTC)

ユークリッド幾何の公理がどうのこうのいうのは、どうでもいいことです。そんなものは忘れてしまった方がいいかも知れません。非ユークリッド幾何といえば、平行線の公理というように、その部分にこだわるのは有害ですらあります。重要なのはその距離空間はどういう空間で、どういった距離が入っているかです。結果として第５公理を満たさないという性質を持つというだけのことで、第５公理を満たさないという話を持ってきても何の計算もできません。例えば円周率を語るためには何が必要でしょうか？まず円を定義しなければなりません。円を定義するには、二点間の距離が必要になります。そして円周の長さ、直径が必要になります。結局、平行線の公理の話を持ってきても円周率は計算できません。

例えば、単位球面上の二点を、その二点を含む大円の劣弧の長さで定めるとすると、距離の最大値は、二点が対蹠的な位置にあるときの π です。ある点Aとの距離が r になる点の集合を 円周とすると、 0 ≤ r ≤ π/2 の時は、円周の長さは 2πsin(r) です。円周の直径は 2r で、円周÷直径 = π (sin(r)/r)になり定数ではなくなります。平面幾何学では、これが定数になるからこそ大きな意味を持ちましたが、関数ではその魅力は半分以上減ります。ついでにここでも πという数は主要な役割を果たしています。r > π/2 の時は、円周の直径は 2(π−r) です。ところが 中心Aからの距離が r以下の点の集合、すなわち円板を考えたとき、r > π/2 の時の円板は、大円を含んでしまうため、直径は rによらない定数πです。円周率を定義するときの直径は 円周の直径なのか？円板の直径なのか？といったところから考えないといけません。そもそも、円の定義において主要な役割を演じているのは、直径ではなく半径ですから、円周率 = 円周÷(半径の2倍)とした方がいいのかもしれません。

というように考えていくと、円周の長さも、直径も一意に決まり、しかもπという数が分かれば円板の面積まで分かるユークリッド幾何学の円周率とは大違いで、定義からしてよくわかりません。そのうえ、π (sin(r)/r) のような変な関数を考察するくらいなら、 素直に、円周の長さ2πsin(r) をそのまま考えた方がいいかも知れません。

ロバチェフスキーの双曲幾何だと円周の長さは 2πsinh(r)です。これもrの一次関数ではないので、2rで割った円周率という考えるよりはこのまま考察した方がいいでしょうね。

ついでに言うと、多様体であれば、局所的にはユークリッド空間とみなせるので、それが非ユークリッド的な空間であったとしても とても小さな円に限ればユークリッド幾何のような円周率を定義できたりします。上で考えた「円周率」も、r→+0ではπになっています。

そんなわけで円周率というものが、一般の距離空間で用いられることはあまりありません。円周の長さをそのまま考えた方が遥かに簡単です。そして日本や中国には円周率という言葉がありますが、世界にはこういう用語は無くて、数学辞典を引いてみても、英訳は「[英] number π, ratio of the circumference of the circle to the diameter」 とあります。つまりπという数は重要なのですが、円周率というような慣用的な名前が与えられているわけではありません。ついでに言うと数学辞典でも、円周率の定義は、「Euclid平面上の円周の長さと直径との比」としてユークリッド平面に限定してあります。--１３２人目 2005年8月11日 (木) 03:53 (UTC)

１3２人目さんありがとうございます。この質疑を問うして自分には幾何学に対する理解そのものがおおきくかけていたということを痛感しています。

非ユークリッド幾何学という言葉を安易に使ったことがそもそもの混乱の原因かなぁと思います。１３２人目さんの説明と、２チャンネルの書き込みをよんで、少なくとも「何がわかっていないか」については理解できたと思っています。

ところで、僕のもともとの疑問である円周率という言葉と、数学定数πの間の関係ですが、僕が普段素朴に考えているのは「円周率」という言葉は数学定数πの名前であるという理解です。数学でも、物理学でもπはいたるところに現れますが、そのπのことを「円周率」という言葉で指し示すと考えれば、実用上は何の問題も無い、というのが僕の経験上の判断としてあるわけです。

１３２人目さんの説明からは、円周率という言葉は「（何らかの円周の長さとか直径とかがきちんと定義された幾何学において）円周と直径の比をあらわすことば」という性格が強いという印象をもちました。さらには、円周率という言葉は日本語の言葉としてπとは別に説明可能であるという可能性も考えられるのではないか、というふうにも思えます?現在このようなことを考えているところですが、正直記事に反映するにはどうしたらよいのか、まったくアイディアが浮かばない状態です。yhr 2005年8月13日 (土) 05:35 (UTC)

実用上でも定義上でも関係なく円周率とはπの事です。ユークリッド幾何学以外の幾何学の円周率という言葉を円周÷直径という変な式で定義することは面倒な上に益がありませんし、そういう定義はあまり一般的ではないという話をしました。そんな変なものは記事には反映しない方がいいのではないかと思います。日本語としてどうこういうのはよく分かりません。円周率というのはπの事ですから。円積率とか玉積率とか、円廻法とかそこらへんの語句の説明のことでしょうか？--１３２人目 2005年8月15日 (月) 09:10 (UTC)

「実用上でも定義上でも関係なく円周率とはπの事です。」ということであれば、それはそれでよいのです。現在の記事本文もそのようにかかれてますしね。ただ「そういう定義はあまり一般的ではないという話をしました。」といわれると、一般的ではないが有りうると言うふうに読めるので、記事を『円周率＝数学定数π」という立場からのみ記述することに問題があるんじゃないかという不安を拭い去ることができなくなってしまいます。あと、過去の版の中には、平面幾何学における円周と直径の比であるという定義を、他の定義に比べて特別なものであるかのように扱う版もあるので、この点もはっきりさせたいと思います。平面幾何学での定義はいろいろな立場からの定義の一つであって、数学的に何ら特別なものではなく、たんに、歴史上人類が始めてであったπが円周と直径の比という形であったに過ぎないのだと考えてよいのですよね?

「円周率」という言葉にこだわっているのは、日本語としての円周率という言葉の起源について、数学定数πに関する記事のなかで扱えるとしたらどのような形があるだろうかと考えているからです。今の記事は「円周率」という項目名で、内容は数学定数πそのものに関する説明ですよね。僕自身、円周率という言葉の出自等に関する知識は皆無なので判断はできないんですけど。yhr 2005年8月18日 (木) 13:12 (UTC)

一般的ではない定義ならいくらでもあり得ます。「円周率とは魚類のうち食用に用いられる種のことである」と定義すれば、円周率を煮たり焼いたり三枚におろしたりすることも可能ですし、「円周率とはイヌ科イヌ属の動物のうち人間が愛玩用に飼う種のことである」と定義すれば、円周率を散歩に連れて行くこともできます。しかしこういった定義は広く用いられるわけではないので、辞典などには記載されません。ある命題について語るときにそこに現れる語句の定義が何なのかがはっきり分かることは重要ですが、その語句が他でどのような定義がなされているかはあまり重要ではありません。その場では、そこでなされた定義しか使えないのですから。日本語で何の定義も書かずに、単に円周率と言った場合、それは広く使われている定義により、数学定数 π のことを意味します。この言葉は、このように定義しなければならないといった事はありませんし、いかなる定義も不変なものではありません。便宜上定めている表面的なものでしかありません。

人類が初めて出会ったπが円周÷直径だったのかどうか、私は知りません。このような古くから知られている自然な数に最初も何もないでしょう。初めて出会ったのは円の面積÷（半径の平方）だったかもしれません。両者が一致する事は古代エジプトで既に知られていたようです。円周率の歴史の上の方にあるリンド・パピルスに書かれているのは「直径の(8/9)を一辺とする正方形と、円の面積は等しい」といったような円積問題に関するものです。土地の面積の測量を考えると古代においては面積でπに出会ったのかもしれません。円周率の歴史を語る時に、πに換算すると何桁まで計算したことになる。という事情を略して、πの何桁目まで計算した。と断定してしまっていることは多いです。リンド・パピルスに「256/81 が円周率の近似値として記述してある。」などというのは正確に言えば嘘です。

円周率=円周÷直径という定義がよく用いられてきたのは、アルキメデス以降、正多角形の面積よりも周長の方が計算しやすくて長いこと計算に使われてきたからではないかと思いますが、それ以上の理由があって、円周÷直径という定義を特別視するような編集がなされたのかもしれません。そのように編集した方に聞かないとわかりません。様々な定義が用いられている現代において、それを特別視しなければならない理由があるのかどうか私は知りません。--１３２人目 2005年8月21日 (日) 03:31 (UTC)

"問題のある過去の版" を書いた本人ですみませんが、横から割り込みます（といってもおそらく言いっ放しでどっかにいくと思いますが）。１３２人目さんは「一般的でない」という言葉で円周率という数学的対象を定義することの数学的な妥当性・有用性の話に帰着しようとなさっていますが、Yhr さんは円周率の定義の数学的妥当性を問題にされているのではないのではないかと思います。

一般に円周率といったときに数学的に何を表すかというのが争点でないことは Yhr さんの 2005年8月18日 (木) 13:12 (UTC) の書き込みで確認できます。少なくともこのセクションでの争点のひとつは、数学とは直接的には関係なく、表意文字を使った「円周率」という語の字義というか字面にどういう意味が込められているか（どのような意図でその文字が使われるのか、と言ったほうが良いかもしれません）ということではないでしょうか。何かの訳語であれば訳者の、造語であれば考案者の、趣味やセンスの問題になったりするような類のことです。もしそういうことがここでの争点なのであれば、例えば「束」という意味を持つ名前を与えられた "sheaf" を（というよりは "faisceau" を、のようですが）元の単語とは別なイメージを込めて「層」と訳したりするようなことで、他の言語に円周率に相当する呼び名が無いとか他でどう呼ばれているかとかいうようなことは、誤解を恐れずに言えば無意味なことではないかと思いました。

もちろんそういった内容を記事本文に入れるかどうかというのは別の話ですが。--Lem 2005年8月21日 (日) 15:26 (UTC)

どうもありがとうございます。僕にとっては、たとえば「円周の長さと直径の長さとが定義された幾何学における円周と直径の比」として定義することが、「円周率とは魚類のうち食用に用いられる種のことである」という定義を採用するのと同じくらいばかげているというふうに132さんが考えているということが分かっただけでもかなりの前進です。

人類が始めてであったうんぬんについては僕の不注意な発現が混乱を招いたのかもしれません。「平面幾何学における円周と直径の比」と言う定義が、πそのものの説明としては、あまり意味が無いが”人間の認識の歴史”みたいな観点からみると少しは意味のあることなのかもしれないと想像しているということが言いたかったのです。

「円周率」という言葉に関しては僕が変なふうにこだわりすぎているのだと思いますが、いちばん簡単には「円周率」という言葉が、いつ頃から使われているのかということに関する記述をこの項目の中ですべきか否かというようなことについて感心が有ります。

正直な話、僕自信この項目についてちょっと混乱しているので、内容のあるお返事とはなっていないと思いますが、ご容赦ください。

Lemさんもどうもありがとう。できれば、「平面幾何における円周と直径の比」という定義を特別扱いしているかのように見える版を書いたときの思惑についてお話いただけると嬉しいです。yhr 2005年8月23日 (火) 14:34 (UTC)

もともと私の編集における "問題" がここでの議題のもとなのだろうと感じられましたので、上では思惑について改めて直接的に述べるということはしませんでした。とはいえ思惑については既に間接的に述べていて「表意文字を使った語の字面にどういう意味が込められているか」という点に尽きます（当該編集における要約欄にも「『率』なので」と記してあります）ので、これ以上述べる必要もないとおもっています。

あえて付け加えるなら、「特別扱いに見える」のではなく、要約欄に記したように「特別扱いした」のだという点なのですが、それは記事の構成の問題として、ひとつの定義を基点として選んだ（どの定義も互いに無関係というわけでなく、他の定義を採用すれば適当な枠組みの中で定理として得られるような類のものです）というだけのことで、当該の版の編集では歴史や背景などはあまり問題にしていません。--Lem 2005年8月23日 (火) 16:10 (UTC)

なるほど、そういう立場は当然ありますよね。ただ、そいう記事の立て方をすると、やはりπについて説明するのか円周率という言葉について説明するのかがあいまいになってしまうようには思います。項目の立て方としてはできるだけいろいろな観点からの記述を盛り込めるようにするのが宵のかなぁと考えてはいるのですが、このケースで具体的にどうすればよいのかは見当もつきません。yhr 2005年8月23日 (火) 17:16 (UTC)

ある項目を書こうとしたとき、数学的な内容であれば考えて思いつくこともあるかと思います。わかりやすい数式や変換を思いついたりして、それを書いたとしても多くの場合は独自の研究にはならないでしょう。ところがそれ以外の事、歴史とか言葉の定義や語源などは、知らなければ調べないと分かりません。歴史を知らない人がじっくり考えていたら突然「1931年に満州事変が起きた」という事実を思いつくなどということはありません。そういった事項は、どこかで知識として仕入れ、思い出すものです。

今回のケースに当てはめて言いますと、Yhrさんが考えているというのは、何の事なのでしょうか？円周率という言葉が日本で使われ出したのはいつかとか誰が初めかとか語源や定義などは考えて思いつくものではなく、歴史的事項のように調査し、知識をどこかで仕入れなければならない種のものと思います。記述の盛り込み方とか、全体的な構成を考える事も大事ですが、その前に、そこに書く内容（知識）というものがある筈です。それを箇条書きでもなんでも良いですから書いてみてください。そういった内容が無い場合は調査してください。書きたいことが集まればそれは一つの章になったり、構成などのアドバイスも得られると思うのですが、現状ではYhrさんがどういった知識を記事に埋め込みたいのか？がよくわかりません。あらかじめ容器を作っても、実際に中に入れる物が届いたら、容器が小さすぎることが分かったりして壊さなければならない事もあるでしょう。かなりの部分が無駄になると思います。したがって、まずは入れ物の形を考える前に中身の知識を披露してみてください。--１３２人目 2005年8月24日 (水) 16:23 (UTC)

円周率については、数学定数としての側面にしろ日本語の言葉としての側面にしろ現段階でたいした知識が有るわけではないです。ですので、具体的な内容についてうんぬんすることはできません。

中身が無いうちから入れ物の話をするのはたしかに無理がある部分もあると思います。僕は、円周率という言葉に関する記述に関しては、そういう方向での加筆も可能なのではないかという期待をもっているという段階ですから、とりあえずの議論では棚上げにしてしまったほうが良いのかもしれません。

それ以外の部分に関しては、とりあえず、円周率という言葉が数学定数パイを指す名前であるという見解に基づいて記事を後世すべし、ということで決着として良いのではないかと思っています。yhr 2005年8月24日 (水) 16:46 (UTC)

[編集] 35桁までの制限について

円周率値の掲載桁数に関して編集が続いていますが、本文中の小太刀さんのコメントにある35桁までとして良いのではないでしょうか。Wikipediaは「一般向」百科事典ですので「円周率」の項目で多くの桁を掲載することは、分かり易さ、読み易さをそこなうデメリットはあっても、メリットはあまりないと考えます。問題は何桁までを掲載するのが適当か？ですが、ルドルフの功績を鑑みて、35桁までとする小太刀さんの提案は適当ではないでしょうか。--TEy 2006年3月5日 (日) 04:38 (UTC)

[編集] 動的システム/エルゴード理論について

これは、英語の dynamical systems の訳語だと思われますが、少なくともこの分野ではこの単語は日本語で「力学系」と訳されるのが一般的です。 ちなみに制御工学の分野では、dynamic systems（alがないのに注意）という用語があり、これは日本語で「動的システム」と訳されるのが一般的です。

さらに、級数の式の x_i が未定義ですね。どうも英語版の一部をコピーした結果のようですが、英語版の方にはちゃんと x_i はロジスティック写像の数列であることが書いてあります。したがって日本語版もその旨の説明をいれるべきだと思います。—以上の署名の無いコメントは、219.117.203.30（会話/whois）氏が[2006年5月12日 (金) 20:37 (JST)]に投稿したものです（Makotoy 2006年12月9日 (土) 06:19 (UTC)による付記）。

なおしておきました。--Makotoy 2006年12月9日 (土) 06:19 (UTC)

[編集] 「定義」について

定義としていろいろな式が提示されているが，あくまで定義は「円の周と直径の比」であり，これらの式はその値を表しているに過ぎない。誤った用語の使用を訂正していただきたい。—以上の署名の無いコメントは、122.18.68.250（会話/whois）氏が[2006年12月9日 (土) 12:25 (JST)]に投稿したものです（Makotoy 2006年12月9日 (土) 06:19 (UTC)による付記）。

下に移動させていただきました。ノートでの書き込みは原則として新しいものは下に書き、署名（チルダ4つ）を付けるようにしてください。問題の定義の部分についてですが、一般論として数学的な概念は歴史的に最も古い定義の他に後になって確立された「同等な定義」がいくつも存在するということはよくあり、円周と直径の比以外のπの特徴付けを「定義」としてあげるのが一概に悪いことだとは言えません。このノートの#円周率という言葉とπという数学定数について節の議論も見てください。（もちろん、できる限りたくさんの定義を「定義」節に並べた方がいいかどうかはまた別の話です。）よりわかりやすい書き方が別にあるとお考えでしたらこのノートで提案するか、登録ユーザーとして記事を編集してみてください。--Makotoy 2006年12月9日 (土) 06:19 (UTC)