マンデルブロ集合

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マンデルブロ集合（まんでるぶろしゅうごう、Mandelbrot set）とは、 次の漸化式

、

z₀ = 0　

で定義される複素数列 {z_n}_n∈N が n → ∞ の極限で無限大に発散しないという条件を満たす複素数 c 全体が作る集合のことである。

複素数 c を複素数平面上の点として（あるいは同じことだが c = a + ib と表して c を xy-平面上の点 (a, b) として）表すと、この平面上でマンデルブロ集合は自己相似的なフラクタル図形として表される。 右に示した 4 つの図は複素平面上でのマンデルブロ集合である。右下が全体像、他の 3 つの図は各部の拡大像である。図中の黒い部分がマンデルブロ集合に相当し、周囲の色は無限大に発散する速さを表している。

マンデルブロ集合はヒョウタンのような図形の周囲に自己相似的な図形が無数にくっついた形状をしている。拡大図には「飛び地」のような黒い部分がいくつか見られるが、これらは全てマンデルブロ集合本体に連結していることが 証明されている。

なお、上式で z₀ を 0 以外の複素数にした場合、マンデルブロ集合は上記の図形をゆがめたものになる。

マンデルブロ集合を複素数を使わずに書き直すには、z_n を点 (x_n, y_n) に、c を点 (a, b) にそれぞれ置き代えて、

、

y_{n + 1} = 2x_ny_n + b

とすればよい。

平面幾何学上で、マンデルブロ集合の周を拡大すると、元のものとよく似た形が繰り返して現れるが、全て少しずつ違っている。つまりマンデルブロ集合の周は自己相似ではないフラクタルの一種であり、その相似次元は平面内の曲線としては最大の2次元である。

[編集] ジュリア集合

マンデルブロ集合内外におけるジュリア集合

左：内部 (0.2, 0.5)、右：外部 (0.2, 0.8)

マンデルブロ集合はジュリア集合に対する指標としてブノワ・マンデルブロによってつくり出されたものである。 ジュリア集合とは

において c を固定した場合に、この漸化式が無限大に発散しないような初期値 z₀ を与える集合である。

マンデルブロ集合を与える複素平面上の点はそれぞれ別のジュリア集合に対応している。マンデルブロ集合内の点は全て連結したジュリア集合に対応し、その外にある点は連結でない(非連結)ものに対応している。( one page dictionary )

[編集] フリー・フラクタル発生プログラム

マンデルブロ集合を高解像度で描画しようとするほど、膨大な計算時間を必要とするようになっていくことから、コンピュータのベンチマークテストとして利用されることがある。また、描き出される図形の幾何学的な美しさから鑑賞を目的として美麗な描画を行うプログラムもある。

• Fractint (ほとんどのプラットフォームをサポート)
• Makin' Magic Fractals
• ChaosPro - for Microsoft Windows
• Xaos - リアルタイム発生プログラム - Windows, Mac, Linux, etc.
• Amseq - マンデルブロ集合（フラクタル）アニメーションを描き出す Mac OS X 用スクリーンセーバー