アイソスピン

アイソスピンはクォークの持つ量子数の一つである。陽子と中性子は質量などの性質が似ているが、これは同種粒子が異なる状態をとっているものと考えたことから始まる。この立場に立って考えると、アップクォーク(u)とダウンクォーク(d)は本来、1つの粒子qの電荷が異なる状態と見なすのが自然と見なせる。

場、u(x)とd(x)を1組の行列として表すと、

$\mathbf{q}(x) = {u(x) \choose d(x)}$

ここで、u、dを（複素）2次元ベクトル空間の座標とみなす。
この空間はアイソスピン空間と呼ばれ、普通の空間と区別して、内部空間と呼ばれる。

ここで、アイソスピン空間における座標変換

$\mathbf{q} \rightarrow \mathbf{q}^\prime = U\mathbf{q}$

を考える。Uは2*2のユニタリ行列であり、変換Uの全体は群U(2)を作る。
この中で $d e t U = 1$ を満たすものに限ると、群SU(2)が得られる。

2*2のユニタリ行列Uは2*2のエルミート行列

$\mathbf{\tau}^1 = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix}$

$\mathbf{\tau}^2 = \begin{pmatrix} 0 && -i \\ i && 0 \end{pmatrix}$

$\mathbf{\tau}^3 = \begin{pmatrix} 1 && 0 \\ 0 && -1 \end{pmatrix}$

を用いて表すことができるから、角度を $\vec{\omega}$ とすると、

$U = exp(\vec{\omega}\cdot\vec{\mathbf{\tau}}/2)$

である。

ここで、 $\vec{I} = \frac{1}{2}\vec{\mathbf{\tau}}$ とすると、

$\vec{I}^2$ の固有値は $I (I + 1)$ 、 $\vec{I}_z$ の固有値は、 $I, -(I + 1) , \cdots , (I - 1) , I$ （ここでIは整数または半整数）となる。

u、dクォークのアイソスピンの絶対値は1/2であるから、

$\vec{I}^2 = \frac{1}{4}\vec{\mathbf{\tau}}^2 = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2} + 1 \right) = \frac{3}{4}$

$\vec{I}_z = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} && 0 \\ 0 && -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

である。

また、ハドロンに共通する法則として、

電荷 = アイソスピンの成分 + 超電荷/2

が成立し、これを中野・西島・ゲルマンの法則という。