Valore atteso
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In teoria della probabilità, il valore atteso (chiamato anche aspettazione, attesa, media o speranza matematica) di una variabile casuale reale X, è un numero che formalizza l'idea euristica di valore medio di un fenomeno aleatorio. Ad esempio, schematizziamo matematicamente il gioco dei dadi rappresentandolo con una variabile casuale che possa assumere i valori
, ciascuno con probabilità 1 / 6. Intuitivamente, la media di questa variabile casuale sarà 3.5, dal momento che
.
In generale il valore atteso di una variabile casuale (che assuma solo un numero finito di valori) è dato dalla somma dei possibili valori di tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di essere assunto (ossia di verificarsi).
Indice |
[modifica] Esempi elementari
[modifica] Il gioco del lotto
- Nel gioco del lotto vengono estratti 5 numeri tra 1 e 90, ed un giocatore può puntare una certa posta sul verificarsi di vari eventi. Calcoliamo il valore atteso del ricavo di uno scommettitore che punti 10 euro sulle cinque possibili giocate:
- numero secco (si punta sull'uscita di un determinato numero; la vincita paga circa 11 volte la posta): la probabilità che il giocatore vinca è data dal rapporto da 5/90 (rapporto tra i numeri vincenti e tutti i numeri che possono essere estratti), ed in tal caso il giocatore vincerà 11 * 10 − 10 = 100 euro; la probabilità di perdita è 85/90, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi
. Ossia, in media il giocatore perderà 3.89 euro per ogni 10 euro giocati.
- ambo (si punta sull'uscita di un determinata coppia di numeri; la vincita paga 250 volte la posta): vi sono
possibili coppie di numeri. Poiché sulla ruota vengono estratti 5 numeri, gli ambi estratti sono
e pertanto il giocatore vincerà con probabilità 10/4005 , ed in tal caso egli guadagnerà 250 * 10 − 10 = 2490 euro; la probabilità di perdita è 3995/4005, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi
. Ossia, in media il giocatore perderà 3.76 euro per ogni 10 euro giocati.
- terno (si punta sull'uscita di un determinata terna di numeri; la vincita paga 4500 volte la posta): Ci sono 117480 possibili terne distinte di numeri.
- quaterna (si punta sull'uscita di un determinata quaterna di numeri; la vincita paga 120000 volte la posta): Ci sono 2555190 possibili quaterne distinte di numeri.
- cinquina (si punta sull'uscita di un determinata cinquina di numeri; la vincita paga 6 milioni di volte la posta): Ci sono 43949268 possibili cinquine distinte di numeri.
- numero secco (si punta sull'uscita di un determinato numero; la vincita paga circa 11 volte la posta): la probabilità che il giocatore vinca è data dal rapporto da 5/90 (rapporto tra i numeri vincenti e tutti i numeri che possono essere estratti), ed in tal caso il giocatore vincerà 11 * 10 − 10 = 100 euro; la probabilità di perdita è 85/90, ed in tal caso il giocatore perderà i 10 euro di puntata. Il ricavo medio sarà quindi
[modifica] Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie discrete
Nel caso di variabile casuale discreta, può essere calcolata pure come:
[modifica] Calcolare il valore atteso di variabili aleatorie assolutamente continue
Nel caso di variabile casuale continua che ammetta densità f(x) il calcolo diventa:
[modifica] La legge dei grandi numeri
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Per approfondire, vedi la voce Legge dei grandi numeri. |
[modifica] Definzione matematica
Sia uno spazio di probabilità, ed X una variabile aleatoria a valori reali su tale spazio (ossia una funzione misurabile
, dove i numeri si intedono equipaggiati con la loro σ-algebra boreliana). Il valore atteso di X è semplicemente l'integrale di X rispetto alla misura di probabilità
:
-
.
[modifica] Valore atteso condizionato
[modifica] Generalizzazioni
[modifica] Stime del valore atteso
In statistica, la stima del valore atteso assume un ruolo centrale, in quanto principale parametro usato nella statistica inferenziale.