Numerus irrationalis

E Vicipaedia

Sistemata Numerica Mathematicae.
Numeri Elementarii
Naturales $\mathbb{N}$ {0,1,2,3...} Primi $\mathbb{P}$ {2,3,5,7,11...} Abundantes Amicabiles Composti Defectivi Perfecti Sociabiles Integri $\mathbb{Z}$ {...-2,-1,0,+1,+2,...} Pares {...-2,0,+2,..} Impares {...-3,-1,+1,+3...} Rationales $\mathbb{Q}$ {...-1/2..0..1/2..1...} Reales $\mathbb{R}$ {Q U I U Tr} Irrationales $\mathbb{I}$ Algebraici Transcendentes $Tr$ Numerus pi $\pi \approx 3.14159265358979\ldots$ Numerus Euleri $e\approx 2.718281828459045\ldots$ Complexi $\mathbb{C}$ Numerus imaginarius $i = \sqrt{-1}$ Infinitas $\infty$
Aliae bases
Basis Binaria (2) Basis Octalis (8) Basis Decimalis (10) Basis Hexadecimalis (16)

Numerus irrationalis per definitionem est numerus qui scribi ut fractio numerorum duorum integrum non potest, i.e., numerus $N$ est irrationalis si numeri duos alii a numero zero dissimiles $a$ et $b$ tales ut

$N=\frac{a}{b}$

non sunt.

Notum autem est omnem irrationalem numerum infinitas figuras decimales necessarie habere, sed mathematicus nullus numerum irrationalem sic definit.

[recensere] Nonnulli irrationales numeri

Sine ulla dubitatione numerorum irrationalium praeclarissimus est numerus pi, cuius irrationalitas ab Iohanes Henricus Lambert anno 1761 demonstrata est. Etiam constat numerum Euleri, $\sqrt{2},\log_32,\sqrt[3]{5},e^{\pi}$ esse irrationales.

[recensere] Praeclara demonstratio

Numerum $\sqrt{2}$ esse irrationalem facile demonstratur, quemadmodum infra aspicitur. Hoc est demonstrationis exemplum secundum praeceptum reductionis ad absurdum.

Pro certo ponamus

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ ,

unde $a, b$ factores primi aequales non habent. In sequentis disquisitionibus demonstrabitur hanc coniecturam esse absurdam.

Si hoc est verum tunc $a 2 = 2 b 2$ , ergo $a 2$ est numerus par ideoque $a$ quoque est numerus par (si $a$ numerus impar esset tunc quoque $a 2$ numerus impar esset). Ut numerus $a$ est par notum est numerum k esse talis ut $a = 2 k$ , unde a prima aequatione sequitur $2 b 2 = (2 k) 2 = 4 k 2$ , ergo $b 2 = 2 k 2$ . Simili modo comprobatur numerum $b$ esse parem propterea etiam factorem 2 habet, quod absurdum est quia in principio selegimus numeros $a, b$ qui factores aequales non habebant. Ergo coniectura $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ erat falsa ideoque $\sqrt{2}$ est numerus irrationalis QED.

[recensere] An numeri isti irrationales sint?

Mathematici nondum sciunt si $π + e$ , $π - e$ , et generaliter si $m π + n e$ , $m$ et $n$ numeris integris a zero dissimilibus, irrationales sint; neque autem si $2 e$ , $π e$ , $\pi^\sqrt{2}$ et constans Euleri-Mascheroni $γ$ etiam irrationales sint.