Iracionalni brojevi

Izvor: Wikipedija

Iracionalni brojevi su oni brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomaka.

Primjeri (transcedentnih) iracionalnih brojeva su:

Algebarski iracionalni brojevi su korijen iz 2, 3, 5...

Vidi promjer za jedno od objašnjenja čemu služi broj π.

Racionalni brojevi su gusto poredani po brojevnom pravcu, ali ga ipak ne ispunjavaju. Postoji mnogo točaka (iracoionalnih brojeva)) koji se ne mogu izmjeriti jediničnom dužinom (nisu sumjerljive s jediničnom dužinom). Primjer: prikaz   √2 na brojevnom pravcu.

[uredi] Euklidov dokaz

Euklid je svojevremeno dokazao da korijen od 2 ne može biti racionalan, na slijedeći način:

• dopustimo da korijen od 2 jest racionalan (vidi dokaz kontradikcijom).
• onda je √2 = n/m, gdje n i m su cijeli brojevi koji nemaju općeg djelitelja (jer bi ga inače mogli skratiti). Ali onda , n² = 2m², gdje n i m su cijeli brojevi. Vidi se jasno da se n² dijeli na 2. Međutim, to bi podrazumijevalo da se i n dijeli na 2 jer samo parni brojevi proizvode kvadrate koji se dijele na 2 (4² = 16, na primjer, ali 5² = 25; dokaz nije složen).
• Sad je pitanje: je li m paran ili ne? Ako se n dijeli na 2, onda n = 2r, i (2r)² = 2m², 4r² = 2m². Ovo pak znači 2r² = m² i m je dijeljivo na 2. Ali sad smo došli do zaključka da se i m i n dijele na 2, pa razlomak nije u najprostijem obliku; došli smo do kontradikcije -> korijen iz 2 je iracionalan.