Irrasjonalt tal

Frå Wikipedia – det frie oppslagsverket

Eit irrasjonalt tal er eit reelt tal som ikkje kan skrivast som ein brøk av to heiltal, dvs. på forma m/n. Eit irrasjonalt tal har inga periodisk desimalutvikling. Eksempel på slike tal er π, e og √2. Alle reelle tal som ikkje er irrasjonelle, er rasjonelle.

[endre] Det finst irrasjonelle tal

Å visa på ein stringent måte at det finst irrasjonelle tal, så som √2,blant dei reelle tala er ein møysommeleg prosess, sidan ein må først visa at det finst ei løysning på likninga x² - 2 = 0, nemleg √2, blant dei reelle tala, og deretter at √2 ikkje eksisterer blant dei rasjonelle tala.

Steg 1: Eit geometrisk argument byggjer på at hypotenusen x til ein rettvinkla trekant med katetar 1 og 1 tilfredsstiller 2 = x². Sidan hypotenusen eksisterer, så eksisterer dermed også ei kvadratrot til 2. Eit meir algebraisk/analytisk argument byggjer på at dei reelle tala oppfølgjer minste-øvre-grense-eigenskapen. Studerer me mengda A = {x : x ² < 2}, x reelle tal, så må denne altså ha ei minste øvre grense sup A, og det er mogleg å visa at sup A korkje er med i A eller A' = [x : x ² > 2 og x > 0}, så difor må (sup A)^2 = 2.

Å visa at sup A korkje er med i A eller A' vert gjort ved eit motsegnsargument: Dersom sup A er med i A, så finst det eit tal høgare enn sup A som også er med i A', og dersom sup A er med i A', så finst det eit tal lågare enn sup A som også er med i A'. Dette strid mot at sup A er den minste øvre grensa til A.

Eit tredje argument er at mengda av dei reelle tala er overtellbar, medan mengda av dei rasjonelle tala er tellbar. Med andre ord kan ikkje dei rasjonelle tala utgjera heile mengda av reelle tal.

Steg 2: Eit geometrisk argument for at √2 er irrasjonell vart funne for 2500 år sidan av pytagorearen Hippasus av Metapontum (eller, det er i alle fall han som har vorte tilegna funnet). Beviset var truleg geometrisk og vert ikkje gjengjeve her. Eit meir moderne bevis er ved motsegn: Anta at √2 = m/n, der m og n er naturlege tal (me veit at √2 er positiv) og m + n minst mogleg. Då er også √2 = (2n - m)/(m - n) = (2n - √2n)/(√2n - n) = (2 - √2)/(√2 - 1), men 2n - m + m - n = n < m + n, så me har eit motsegn.

Eit vanlegare motsegnsbevis byggjer også på at m + n er minimal. Dei kan då ikkje ha ein felles faktor større enn 1, sidan me då kunne dela på denne og fått m + n mindre. Vidare får me 2n² = m². Då må 2 dela m², og dermed må også 2 dela m, dvs. at m = 2k for ein passande k, og me får 2n² = 4k², og ved eit tilsvarande argument får me at 2 deler n, eit motsegn.

[endre] Mengda av irrasjonelle tal

Mengda av dei irrasjonelle tala er $\Bbb{R}$ \ $\Bbb{Q}$ . Denne mengda er ikkje-tellbar og utgjer, i motsetnad til mengda av dei reelle tala og mengda til dei rasjonelle tala, ikkje ein kropp. Slik sett er det vanskeleg å arbeida spesielt med denne mengda.