Massimo e minimo di una funzione

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In questo grafico sono evidenti un massimo e un minimo relativi

In matematica un punto di massimo assoluto di una funzione a valori reali

$f:D \to \R$

su un sottoinsieme A del dominio D della funzione è un elemento x₀ di A in cui la funzione assume un valore maggiore o uguale al valore che assume negli altri punti di A, ovvero

$f(x_0)\geq f(x) \qquad \forall x \in A$

Viceversa un punto di minimo assoluto di f in A è un punto x₀ di A tale che

$f(x_0)\leq f(x) \qquad \forall x \in A$

Si chiama punto di massimo locale o di massimo relativo per f un punto x₀ del dominio D di f tale che $f(x_0) \ge f(x)$ in un intorno di x₀: $(x 0 - δ, x 0 + δ)$ .

Un punto di minimo locale o relativo per f è invece un punto x₀ del dominio D di f tale che $f(x_0) \le f(x)$ in un intorno di x₀: $(x 0 - δ, x 0 + δ)$ .

Se esistono massimi o minimi assoluti devono necessariamente essere massimi o minimi relativi. I punti di massimo e minimo relativo vengono anche detti punti estremanti.

Indice

1 Massimi e minimi per funzioni derivabili
- 1.1 Derivata prima
- 1.2 Derivata seconda
2 Funzioni di due o più variabili reali
3 Esempi
- 3.1 Funzione di una variabile reale
- 3.2 Funzione di due variabili reali
4 Voci correlate

[modifica] Massimi e minimi per funzioni derivabili

[modifica] Derivata prima

Nel caso di una funzione derivabile di una variabile reale condizione necessaria perché un punto sia di massimo o di minimo locale (e quindi assoluto) è che la derivata prima si annulli in questo punto:

f'(x 0) = 0

Questa condizione permette di trovare un certo numero di punti (x₀, x₁, ...) che si chiamano punti critici. Naturalmente questa condizione vale per tutti i punti interni al dominio di derivabilità, cioè nei punti interni di questo insieme, mentre negli estremi dell'insieme non è detto che la derivata esista e proprio per questo motivo la condizione vale per gli intervalli aperti. Questa condizione si può dimostrare: infatti se $x 0$ è un punto di massimo locale, allora in un intorno $(x 0 - δ, x 0 + δ)$ di x₀ vale che il rapporto incrementale:

$\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \begin{cases} \le 0 & \forall x_0 < x < x_0+\delta \\ \ge 0 & \forall x_0 - \delta < x < x_0 \end{cases}$

per cui passando al limite per $x \to x_0$ si deduce che necessariamente $f'(x 0) = 0$ .

Geometricamente questa condizione significa che la retta tangente nel punto x₀ è orizzontale. Naturalmente per il fatto che ci possono essere punti di massimo o minimo anche laddove la funzione non è derivabile. Ciò si dice anche che un punto in cui la derivata si annulla non è sufficiente per dire che questo è un punto di massimo o di minimo.

Possiamo utilizzare la derivata prima per classificare i punti critici. Un punto $x 0$ è di massimo locale per f se nei suoi intorni destro e sinistro:

$f'(x) = \begin{cases} \le 0 & x_0 < x < x_0 + \delta \\ \ge 0 & x_0 - \delta < x < x_0 \end{cases}$

Viceversa è di minimo locale se:

$f'(x) = \begin{cases} \ge 0 & x_0 < x < x_0 + \delta \\ \le 0 & x_0 - \delta < x < x_0 \end{cases}$

Se infine il valore della derivata non cambia attraversando il punto $x 0$ allora questo è un punto di flesso ascendente o discendente a seconda che la derivata prima rimanga sempre positiva o sempre negativa.

[modifica] Derivata seconda

Alternativamente se la funzione ammette la derivata seconda in un punto, un punto è di massimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla (quindi $x 0$ è un punto stazionario) e la derivata seconda è negativa:

f''(x 0) < 0

Un punto è di minimo relativo se la derivata prima della funzione si annulla in $x 0$ e la derivata seconda è positiva:

f''(x 0) > 0

In questo caso si tratta di condizioni sufficienti: può succedere che anche la derivata seconda sia nulla. Allora se la funzione nel punto ammette derivate di ordine sufficiente, occorre vedere qual è la prima derivata che non si annulla. Se è di ordine dispari, il punto non è né di massimo né di minimo relativo, ma è un flesso; se è di ordine pari, il punto è un massimo o un minimo a seconda se il valore corrispondente sia negativo o positivo.

Ovviamente tra i punti di massimo e di minimo relativo (se esistono) vi si trovano anche i massimi e i minimi assoluti. Una volta trovati si può sempre valutare la funzione in questi punti e vedere quali sono i valori più grande e più piccolo: questi sono i punti di assoluto.

[modifica] Funzioni di due o più variabili reali

Nel caso di funzioni in più variabili il discorso fatto è analogo, ma ad annullarsi è il gradiente della funzione. Per verificare se il punto è di massimo o minimo si guarda il segno del determinante della matrice Hessiana e il primo termine della matrice. Se il primo elemento della matrice è positivo e il determinante è anch'esso positivo si ha un minimo locale se invece il primo termine è negativo e il determinante è sempre positivo allora si ha un massimo locale. Qualora il determinante della matrice Hessiana sia negativo, allora il punto si dice punto di sella. Non dà informazioni sui punti critici il caso di determinante Hessiano nullo.

In caso di funzioni di due o più variabili la ricerca dei punti di massimo e minimo non si esaurisce all'interno del dominio dove la funzione è derivabile, ma si devono cercare i massimi e i minimi anche sulla frontiera, in cui in generale la funzione non è differenziabile. In tal caso nelle funzioni di due variabili si parametrizza la frontiera e si cercano i punti di massimo e di minimo come visto per una variabile reale.

[modifica] Esempi

[modifica] Funzione di una variabile reale

Si consideri

$y=xe^{-x^2}$ .

Calcoliamo la derivata prima:

$y'=e^{x^2}-2x^2e^{x^2}=e^{x^2}(1-2x^2).$

Calcoliamo la derivata seconda:

$y''=2xe^{x^2}(1-2x^2)+e^{x^2}(-4x).$

La derivata prima si annulla nei punti

$x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}.$

Nel punto $x_1=\sqrt{\frac{1}{2}}$ la derivata seconda è negativa, qundi è un punto di massimo, mentre nel punto $x_2=-\sqrt{\frac{1}{2}}$ la derivata seconda è positiva, qundi è un punto di mimino.

[modifica] Funzione di due variabili reali

Si consideri la funzione di 2 variabili

$z=(x^2 + y^2) \cdot e^{-(x^2+y^2)}$ .

Calcoliamo le derivate parziali prime:

$\frac{\partial z}{\partial x}= -2 x e^{-(x^2+y^2)} (-1 + x^2 + y^2)$

$\frac{\partial z}{\partial y}=-2 y e^{x^2-y^2} (-1 + x^2 + y^2)$

Quindi il gradiente di $f (x, y)$ è:

$\nabla f(x,y) = \begin{cases} f_x = -2 x e^{-(x^2+y^2)} (-1 + x^2 + y^2) \\ f_y = -2 y e^{x^2-y^2} (-1 + x^2 + y^2)\end{cases}$

I punti critici sono dati dalla soluzione del sistema:

$\begin{cases} f_x = -2 x e^{-(x^2+y^2)} (-1 + x^2 + y^2) = 0\\ f_y = -2 y e^{x^2-y^2} (-1 + x^2 + y^2) = 0\end{cases} \rightarrow \begin{cases} x (-1 + x^2 + y^2) = 0\\ y (-1 + x^2 + y^2) = 0\end{cases}$

cioè $(0,0)$ e $x 2 + y 2 = 1$ .

Calcoliamo le derivate parziali seconde:

$f_{xx} = e^{-(x^2+y^2)}(2 + 4 x^4 - 2y^2 + 2 x^2 (-5 + 2y^2))$

$f_{xy} = f_{yx} = 4 x y e^{-(x^2+y^2)}(- 2 + x^2 + y^2)$

$f_{yy} = e^{-(x^2+y^2)}(2 + 4 y^4 - 2x^2 + 2 y^2 (-5 + 2x^2))$

Quindi la matrice hessiana di z sarà:

$H = \begin{bmatrix} e^{-(x^2+y^2)}(2 + 4 x^4 - 2y^2 + 2 x^2 (-5 + 2y^2)) & 4 x y e^{-(x^2+y^2)}(- 2 + x^2 + y^2)\\ 4 x y e^{-(x^2+y^2)}(- 2 + x^2 + y^2) & e^{-(x^2+y^2)}(2 + 4 y^4 - 2x^2 + 2 y^2 (-5 + 2x^2)) \end{bmatrix}$

Calcoliamo la matrice hessiana in $(0,0)$ :

$H (0,0)= \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$

Questa matrice ha determinante positivo (4) e primo termine (2) positivi quindi è un punto di minimo relativo. Nel caso dei punti della $x 2 + y 2 = 1$ si parametrizza la circonferenza:

$\begin{cases} x= t \cos \theta \\ y = \sin \theta \end{cases}$