Flesso
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Un punto di flesso per una curva o funzione è un punto in cui si manifesta un cambiamento di curvatura o di convessità. La definizione e lo studio dei punti di flesso fa largo uso del calcolo infinitesimale e più precisamente del concetto di derivata.
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[modifica] Definizione
Un punto di flesso è definito per curve piane e funzioni reali (definite in un intervallo) in uno dei modi seguenti:
- un punto di una curva in cui la tangente attraversa la curva (cioè si incrocia con questa).
- un punto di una curva in cui la curvatura cambia segno (da negativa a positiva, o viceversa). Immaginando un veicolo che corre lungo la curva, è un punto in cui le ruote davanti cambiano direzione (da sinistra a destra, o viceversa).
- un punto (x,y) nel grafico di una funzione f(x) in cui la derivata seconda cambia segno, manifestando un cambio di concavità.
Il grafico di una funzione è un caso particolare di curva. Tutte queste definizioni sono equivalenti se curve e funzioni sono "sufficientemente regolari", ad esempio se sono differenziabili almeno due volte (condizione necessaria perché si possa parlare di "curvatura" e "derivata seconda").
[modifica] Funzioni
[modifica] Flessi orizzontali, obliqui e verticali
Sia (x0,y0) un punto di flesso per una funzione f(x). Se la tangente nel punto è orizzontale (cioè se f'(x0) = 0) allora si parla di flesso orizzontale. Altrimenti si parla di flesso obliquo.
Se la funzione è derivabile due volte in tutti i punti vicini a x0, e la derivata prima f'(x) tende a infinito in x0, si parla di "tangente verticale", e anche in questo caso il punto è di flesso se la derivata seconda cambia segno. Si parla di flesso verticale.
[modifica] Precisazioni
Il "cambiare segno" della derivata seconda è da intendersi in un intorno: nel caso della funzione, questa ha flesso in x0 se esiste un intorno H di x0 tale che per ogni x di H con x < x0 si ha f''(x) > 0 (rispettivamente < 0 ) e per ogni x di H con x > x0 si ha f''(x) < 0 (rispettivamente > 0).
Condizione equivalente (per flessi non verticali) è che la derivata f'(x) abbia un massimo oppure un minimo locale in x0.
[modifica] Metodi risolutivi
Per verificare analiticamente se una funzione possiede punti di flesso, si ricercano innanzitutto i valori di x per i quali la derivata seconda si annulla:
La condizione che f''(x0) = 0 è necessaria ma non sufficiente a garantire l'esistenza di un flesso in x0, perché la derivata seconda potrebbe non cambiare segno intorno a x0: questo accade se la funzione presenta nel punto un contatto "superiore al secondo ordine" con la propria retta tangente.
Quindi si prosegue nell'analisi verificando che la derivata seconda cambi segno. Questo accade precisamente quando la prima derivata non nulla calcolata nel punto x0 successiva alla seconda è una derivata dispari.
[modifica] Proprietà
- Un punto di flesso è un punto stazionario se e solo se è orizzontale.
- In un punto di flesso la funzione ammette un "contatto almeno del secondo ordine" con la retta tangente.
- Esistono funzioni che non presentano punti di flesso: ad esempio una linea retta o una parabola.
[modifica] Generalizzazioni
[modifica] Caso complesso
Nel caso di funzioni o curve considerate a variabile complessa, non è possibile dare una definizione del tutto analoga, perché i numeri complessi non hanno un ordinamento, e quindi non ha senso parlare di "cambiamento di segno" della derivata o curvatura.
Per questo motivo solitamente si definisce un punto di flesso per una curva o funzione come un punto in cui la retta tangente ha "molteplicità di intersezione" (cioè "ordine di contatto") con la curva almeno 3. Tale molteplicità è "di solito" 2, quindi i punti di flesso sono punti "eccezionali" della curva.
