Intuizionismo

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Nella filosofia della matematica, l'intuizionismo, o neointuizionismo (opposto al preintuizionismo), è un approccio alla matematica in cui ogni oggetto matematico è considerato un prodotto dell'attività costruttiva della mente umana. Per l'intuizionismo, l'esistenza di un'ente è equivalente alla possibilità della sua costruzione.

L'intuizionismo, al di fuori della matematica, è un orientamento filosofico dove la priorità è data all'intuito e alle impressioni spontanee e agli impliciti del ragionamento rispetto al ragionamento esplicito e alle argomentazioni. Fra i principali filosofi intuizionisti ci sono Rousseau, Emerson e Bergson.

Indice

1 Elementi fondamentali della teoria intuizionista
2 Matematici che hanno contribuito all'intuizionismo
3 Branche della matematica intuizionista
4 Voci correlate

[modifica] Elementi fondamentali della teoria intuizionista

Secondo Brouwer, l'intuizionismo si basa su due atti fondamentali, entrambi alinguistici ed in diretto riferimento all'intuizione temporale. Il primo atto riconosce che l'origine dell'attività matematica deriva dalla percezione di un passaggio di tempo, cioè della scissione dell'unità immediata in due distinte unità «una delle quali cede il posto all'altra ma è conservata dalla memoria»; la «biunità» ottenuta, considerata astraendo da ogni considerazione qualitativa, costituisce la pura e vuota forma quantitativa dell'entità di numero. Il secondo atto riconosce la possibilità di generare successioni di scelte libere procedenti all'infinito, scegliendo i termini tra le entità matematiche già costruite.

L'approccio costruttivista è in contrasto con il classico approccio per cui l'esistenza di un'entità matematica può essere provata rifiutando la sua non-esistenza. Per gli intuizionisti questo argomento non è valido, la confutazione della non-esistenza non significa che è possibile trovare una prova costruttiva della sua esistenza. In altre parole, ogni asserzione A è giustificata solo se esiste una dimostrazione diretta (canonica) che concluda A. Come tale, l'intuizionismo è una variante del costruttivismo matematico.

Per gli intuizionisti dire che $A \vee B$ equivale a dire che sia A che B possono essere ugualmente provati. In particolare il principio del terzo escluso, $A \vee \neg A$ , è rifiutato dall'intuizionismo poiché l'assunzione che è sempre possibile provare A o la sua negazione ¬A non è giustificata. (Vedi anche: logica intuizionista.)

L'intuizionismo rifiuta anche l'astrazione dell'infinito attuale; per esempio non considera come oggetti dati le collezioni infinite di oggetti come l'insieme di tutti i numeri naturali o una sequenza arbitraria di numeri razionali. Ciò comporta la ricostruzione di gran parte della teoria degli insiemi. I risultati sono teorie profondamente diverse dalla loro versione tradizionale; ad esempio la matematica intuizionista rifiuta esplicitamente di trattare funzioni su $\Bbb{R}$ definite ovunque discontinue (secondo Brouwer infatti «non esiste alcuna funzione definita ovunque discontinua»).