Funzione poligamma

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In matematica, per funzione poligamma di ordine m si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica m+1-esima della funzione Gamma:

$\psi_m(z) := \left(\frac{d}{dz}\right)^{m+1} \ln{\Gamma(z)} = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} = \left(\frac{d}{dz}\right)^m \psi_0(z)$ .

Qui

$\psi_0(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$

denota la funzione digamma e $Γ(z)$ denota la funzione gamma.

La funzione poligamma si denota anche $\,\psi^{(m)}\,$ . La funzione $\,\psi_1\,$ viene detta anche funzione trigamma e la $\,\psi_2\,$ funzione tetragamma.

Nel semipiano complesso Re z >0 la funzione poligamma si può trattare mediante la seguente rappresentazione integrale.

$\psi_n(z)= \int_0^\infty dt\, \frac{t^n e^{-zt}} {1-e^{-t}}$ .

Vale la relazione di ricorrenza

$\psi_n(z+1)= \psi_n(z) + (-)^n\; n!\; z^{-(n+1)}$

Una poligamma ha la seguente rappresentazione mediante serie

$\psi_n(z) = (-)^{n+1}\; n!\; \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z+k)^{n+1}}$

che vale per ogni argomento complesso che non sia un intero negativo. Questa identità può essere scritta più concisamente servendosi della funzione zeta di Hurwitz

$\psi_n(z) = (-)^{n+1}\; n!\; \zeta (n+1,z)$ .

Si osserva quindi che la zeta di Hurwitz costituisce una famiglia di funzioni che amplia la famiglia costituita dalla poligamma: questa è caratterizzata da un parametro che varia nell'insieme degli interi positivi e la prima famiglia la amplia consentendo al parametro di variare nel campo complesso.

Lo sviluppo di Taylor con centro in z₀=1 è

$\psi_n(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-)^{n+k+1} (n+k)!\; \zeta (n+k+1)\; \frac {z^k}{k!}$ ,