Equazione logistica

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Curva logistica (sigmoide)

Una funzione logistica o curva logistica descrive una curva ad S di crescita di alcuni tipi di popolazioni P. All'inizio la crescita è quasi esponenziale, successivamente rallenta, diventando quasi linear, per raggiungere una posizione asintotica dove non c'è più crescita.

Come si vedrà in seguito, la libera evoluzione di una popolazione P può essere modella con un termine di crescita +rKP (una percentuale di P). Ma quando, come la popolazione cresce, alcuni membri di P (descitti mediante il termine $- r P 2$ ) interferiscono l'un l'altro poenendosi competizione per le risorse ( modellato da K, quale può essere chiamato il il collo di bottiglia, o capacità portante k che limita la crescita). Questa competizione diminuisce il tasso di crescita, finché la popolazione P cessa di crescere (questo è chiamato maturità).

Ma poi, come la popolazione cresce, alcuni membri di P (modellati mediante il termine $- r P 2$ ) si ostacola l'un l'altro nella competizione (modellato da K). Questa competizione diminuisce il tasso di crescita, finché la popolazione P cessa di crescere (questo momento è chiamato la maturità).

Una funzione logistica è definita mediante la seguente formulazione:

$P(t) = a\frac{1 + m e^{-t/\tau}}{1 + n e^{-t/\tau}} \!$

con i seguenti parametri reali a, m, n, e $τ$ . Queste funzioni trovano applicazioni in una vasta gamma di campi, dalla biologia all'economia.

Per esempio, nello sviluppo dell'embrione, la divisione dell'uovo fecondato procende secondo una crescita esponenziale: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, etc. Ma il feto può crescere solo quanto l'utero gli consente; così altri fattori cominciano a rallentare l'aumento numero delle cellule e il fattore di crescita diminuisce (ovvimente il bambino continua a crescere. Dopo il tempo di gravidanzagestazione, il bambino nasce e riprendere a crescere. L'ultimo periodo prima del parto il numero di cellule è stabile su un valore asintotico. Altro esempio è la concentrazione di reagenti e prodotti nelle reazioni autocatalizzanti che seguono la funzione logistica.

In tali esempi, sono modellati i rapporti tra le variabili. In più, una funzione importante logistica è il modello di Rasch, che è un modello generale stocastico di misura. Questo modello è come usato un sostegno per la misura piuttosto che per modellare i rapporti tra le variabili per cui sono state fatte le misure (come nell'esempio precedente). In particolare, il modello di Rasch forma una base per la stima della probabilità massima delle posizioni di oggetti che possono essere misurati in uno spazio continuo, basato sulla raccolta di dati categorici.

Indice

1 L'equazione di Verhulst
- 1.1 Storia
2 Funzione sigmoidale
- 2.1 Caratterizzazione matematica: studio di funzione
- 2.2 Proprietà della funzione sigmoide
3 Modello di crescita
- 3.1 Modelli più complessi
4 Critiche
5 Voci correlate

[modifica] L'equazione di Verhulst

L' equazione logistica, anche nota come modello di Verhulst o curva di crescita logistica è un modello di crescita della popolazione, proposto da Pierre François Verhulst.

Questo modello in considerazione:

il tasso di riproduzione è proporzionale alla popolazione esistente
il tasso di riproduzione è proporzionale all'ammontare di risorse disponibili.

Così il secondo termine modella la competizione per le risorse disponibili, che tende limitare la crescita della popolazione.

Assumendo che P rappresenta la misura di popolazione (in ecologia è usualmente in dicato con N) e t rappresenta il tempo, questo modello è formalizzato dall'equazioni differenziali:

$\frac{dP}{dt}=rP\left(1 - \frac{P}{K}\right) \!$

dove la costante $r$ definisce il tasso di crescita e $K$ il termine asintotico della popolazione (definito dalle risorse diposinibili per la popolazione). La soluzione generale di queste equazioni è una funzione logistica.

Nell'ecologia, la specie sono riferite a volte alle r-strategie o K-strategie dipendendo dai processi selettivi che ha modellato le loro strategie di vita.

La soluzione alle equazioni (dove $P 0$ è la popolazione iniziale) è:

$P(t) = \frac{K P_0 e^{rt}}{K + P_0 \left( e^{rt} - 1\right)}$

dove si definisce il limite asintotico:

$\lim_{t\to\infty} P(t) = K.\,$

[modifica] Storia

L'equazione di Verhulst, (1), fu pubblicata per la prima volta da Pierre F. Verhulst nel 1838,dopo aver letto di Thomas Malthus' An Essay on the Principle of Population.

Verhulst derivò la sua équation logistique (equazione logistica) per descrivere le auto-limitazioni di crescita di una popolazione biologica. L'equazione viene talvolta chiamata equazione di Verhulst-Pearldopo che è stata riscoperta nel 1920. Alfred J. Lotka dedusse l'equazione ancora nel 1925, chiamandola legge di crescita di una popolazione.

[modifica] Funzione sigmoidale

Per approfondire, vedi la voce Funzione sigmoidea.

Il caso speciale della funzione logistica con $a = 1, m = 0, n = 1,τ = 1$ , cioè

$P (t) = \frac{1}{1 + e^{-t}}\!$

È chiamato funzione sigmoide o curva sigmoidale. Il nome è dovuto alla forma del suo grafico analogo ad un S. Questa funzione è anche chiamata la funzione standard logistica ed è spesso incontrata in molti ambiti tecnici, soprattutto nelle reti neurali come funzione di trasferimento, in probabilità, statistica, biomatematica, psicologia matematica e in scienze economiche.

[modifica] Caratterizzazione matematica: studio di funzione

Sigmoide e derivate

Data l'equazione logistica/sigmoidale in una forma più generale:

$y(x)={ a \over 1+ b \cdot e^{-c \cdot x}} +d$

con:

$e = 2,718$ numero di Nepero.
$a, b, c, d > 0$ coefficienti dell'equazione.

Dominio (campo di definizione)

$\forall x \in \mathbb{R}$
Studio degli asintoti
1. Asintoto orizzontale superiore:
  
  $\lim_{n \to \infty} \left( { a \over 1+ b \cdot e^{-c \cdot x}} +d \right) =a+d$
2. Asintoto orizzontale inferiore:
  
  $\lim_{n \to - \infty}\left( { a \over 1+ b \cdot e^{-c \cdot x}} +d \right) =d$
Derivata prima

${d \over dx}y(x) = {abc e^{cx} \over (b+e^{cx})^2 }$
1. Limiti della derivata prima:
  
  $\lim_{n \to \infty}{abc e^{cx} \over (b+e^{cx})^2 } =0$
2. Concavità della funzione:
  
  ${d \over dx}y(x) >0 \quad \forall x \in \left(-\infty ,{\lg b \over c} \right]$
  
  ${d \over dx}y(x) <0 \quad \forall x \in \left[{\lg b \over c} , \infty \right)$
Derivata seconda

${d^2 \over dx^2}y(x) = {abc^2 e^{cx}(b -e^{cx}) \over (b+e^{cx})^3 }$
1. Limiti della derivata seconda:
  
  $\lim_{n \to \infty}{abc^2 e^{cx}(b -e^{cx}) \over (b+e^{cx})^3 } =0$
2. Punto di flesso:
  
  ${d^2 \over dx^2}y(x) = 0 \Rightarrow x_F= {\lg b \over c}$
  
  ${d \over dx}y(x_F) = 0 \Rightarrow {d \over dx}y\left({\lg b \over c}\right)={ac \over 4}$
  
  $y_{x_F}={ac \over 4} \cdot x + {2(a+2d) - a\lg b \over 4}$
  
  $P(x_F,y_F)=\left( {\lg b \over c} , {a+2d \over 2} \right)$
Antiderivata

$\int y(x)\,dx = { a\lg (e^{cx} +b) +cdx \over c} +cost$

[modifica] Proprietà della funzione sigmoide

La funzione sigmoide (stantdard) è la soluzione dell'equazione differenziale del primo ordine non lineare

$\frac{dP}{dt}=P(1-P)\!$

con condizioni al contorno $P (0) = 1 / 2$ . L'equazione (2) è la versione continua della mappa logistica.

La curva di sigmoid mostra prima crescita esponenziale per t negativo, che rallenta verso unacrescita lineare di pendenza 1/4 nell'intorno di t = 0, poi si avvicina a y = 1 (asintoto orizonatale) con un decadimento esponenzialmente.

La funzione logistica è l'inverso della funzione di logit naturale e può essere usata cosí per convertire il logaritmo di probabilità in una probabilità; la conversione dal rapporto di log-probabilità di due alternative porta anche la forma di una curva sigmoidale.

[modifica] Modello di crescita

Confronto tra curva logistica e curva di accrescimento esponenziale (malthusiano). I parametri sono:

k = 10, N 0 = 1, r = 1

Immagine creata con gnuplot

Avendo supposto che il numero di individui di una popolazione sia una funzione continua del tempo $N (t)$ che ammette derivata continua, si ha che l'incremento della popolazione al variare del tempo può essere rappresentato dalla derivata di $N (t)$ , che in un modello elementare si può supporre direttamente proporzionale al numero di individui della popolazione stessa.

Si ha pertanto la seguente equazione differenziale:

${d \over dt}N=rN(t)$

con $r$ : parametro di crescita Malthusiana (tasso massimo di crescita della popolazione).

Pertanto se $r$ è una costante la popolazione cresce in maniera esponenziale con pendenza dipendente da $r$ . Nell'ipotesi invece che $r$ sia una funzione decrescente al crescere della popolazione per l'effetto dovuto all'affollamento si definisce $r (t): = a - b N (t)$ con $a$ e $b$ costanti e quindi sostituendo tale funzione nella precedente equazione differenziale si ottiene :

$\frac{dN}{dt}=aN(t) - bN^2(t)$

che può essere posta nella forma :

$\frac{dN}{dt}=aN\left(1-\frac{N}{K}\right)$

con $K =\frac{a}{b}$ che è la cosiddetta popolazione massima sostenibile ed a uguale al parametro di crescita Malthusiana. Questa è l'equazione logistica di Verhulst.

Separando le variabili si ottiene :

$\frac{1}{a}\int\left(\frac{1}{N}+\frac{b}{a-bN}\right)dN(t)= \int dt$

Soluzione equazione differenziale

risolvendo gli integrali,scegliendo come primitive quelle che si annullano in $t 0$ tali che $N (t 0) = N 0$ e utilizzando le proprietà dei logaritmi si ottiene la soluzione :

$N(t)=\frac{k}{1+(\frac{k}{N_0}-1)e^{-a(t-t_0)}}$

Si nota che a causa del sovraffollamento la popolazione non cresce più in maniera esponenziale ma converge al valore asintotico k indipendentemente da $N 0$ .

Considerando adesso la non infinita disponibiltà di risorse si introduce il temermine di descremento della crescita, così l'equazione differenziale diventa:

La soluzione dell'equazione si può anche scrivere nelle forme:

$N(t) = { k N_0 e^{rt} \over k - N_0 \cdot (1-e^{rt})} = { k N_0 \over N_0 - (k-N_0)\cdot e^{-rt}}$

E' immediato verificare che per questa soluzione ha due asintoti orizzonati:

$\lim_{n \to \infty}{N(t) } =N_0$

$\lim_{n \to -\infty}{N(t) } =0$

Si ha un differente comportamento nel caso $N 0 > k$ allora il secondo limite tenderebbe a $-\infty$ , presentando anche un asintoto verticale, ma queste soluzioni non sono considerate nel modello di crescrita (sono evidentemte una decrescita molto rapita in quanto di parte da una popolazione molto numerosa con a disposizione poche risorse rispetto la suo numero iniziale).

[modifica] Modelli più complessi

Se nella popolazione chiusa è sogetta a catostrofi periodiche, cioè viene fatto un prelievo p costante nel tempo (immaginiamo un lago con dei pesci che ne vengono pescati una quota fissa giornaliera) l'equazione di Verhulst diventa :

$\frac{d}{dt}N =aN(t) - bN^2(t)-p$

Tale equazione è di difficile soluzione ma è possibile analizzarla qualitativamente considerando che la derivata di N(t) si annulla in:

$s_1=\frac{a}{2b}+\sqrt{\frac{a^2}{4b^2}-\frac{p}{b}}$ ed $s_2=\frac{a}{2b}-\sqrt{\frac{a^{2}}{4b^{2}}-\frac{p}{b}}$ con $a 2 - 4 b p > = 0$ da cui $p<=\frac{a^2}{4b}$ .

Posto $N' (t) = Y (N (t))$ e $Ω$ =l'insieme delle funzioni N(t) al variare di $N 0$ che soddisfa l'equazione di Verlhust con prelievo costante si ha che :

(1) Nell'intervallo $s 2 < N (t) < s 1$ , Y è positiva quindi le funzioni di $Ω$ sono monotone crescenti inoltre $Y (s 1) = 0$ quindi esse convergono asintoticamente a $s 1$ .

(2) Nell'intervallo $N (t) > s 1$ , Y è negativa quindi le funzioni di $Ω$ sono monotone decrescenti inoltre $Y (s 1) = 0$ quindi esse convergono asintoticamente a $s 1$ .

(3) Nell'intervallo $0 < N (t) < s 2$ , Y è negativa quindi le funzioni di $Ω$ sono monotone decrescenti quindi esse si estinguono dopo un certo tempo $t *$ .

(4) Per $N (t) = s 1$ o $N (t) = s 2$ Y=0 quindi le funzioni di $Ω$ rimangono costanti.

Pertanto in caso di prelevamento non solo deve essere $p<=\frac{a^2}{4b}$ ma è necessario che la popolazione iniziale non sia minore di $s 2$ come si evince dalla (3). Si nota inoltre che $s 1 < k$ cioè che in caso di prelevamento nell'ipotesi (1) e (2) la popolazione converge ovviamente ad un valore più piccolo rispetto al caso in cui non ci sia prelevamento.

Per meglio descrivere il caso in cui la popolazione si possa estinguere si puo modificare l'equazione: ${d \over dt}N = rN \left(1 - {N \over K } \right )\left(1 - {m \over P } \right )$

dove $m$ rappresenta il livello minimo di popolazione al di sotto del quale questa si estingue (pensando sempre al lago di speci, gli adulti non riesco ad accoppiarsi).

Un ulteriore passo è l'introduzione di un certo ritardo nel raggiugimento dell'asintoto orizzontale (fase di maturità); questa nuova situazione è descritta mediante la seguente equazione:

${d \over dt} N = rN(t) \left( 1- {N(t-t_m) \over k }\right)$

con questa equazione di introduce una oscillazione, come un sistema molla-smorzatore, che oscilla intorno alla posizione di equilibrio in modo decrementale ma infinito.

[modifica] Critiche

Malgrado la sua popolarità persistente come un modello per la crescita della popolazione nel campo della dinamica di popolazione, quest'uso della funzione logistica è stato pesantemente criticato. Un critico, un demografo ed un Professore di Popolazione, Joel E. Cohen (How Many People Can The Earth Support, 1995) spiega che Verhulst ha tentato di adattare una curva logistica, basata sulle ipotesi di funzione logistica, a 3 censimenti separati della popolazione degli Stati Uniti di America per predire la crescita di futuro. Tutte le 3 serie di predizioni hanno fallito.

In 1924, il Professore Ray Pearl e Lowell J. Reed hanno usato il modello di Verhulst per predire un limite superiore di 2 miliardi per la popolazione mandiale. Questo è stato passato in 1930. Un tentativo posteriore di Pearl ed un associato Sophia Gould nel 1936 hanno valutato un limite superiore di 2,6 miliardo. Questo è stato passato in 1955.

Queste critiche sono arrivate al Professore Peter Turchin (la Dinamica di Popolazione Complicata, 2003), che nonostante tutto ciò, conclude che questo tipo di equazioni forniscono una struttura utile per la dinamica di solo-specie ed i contributi ai modelli per le interazioni di multispecies.

Nonostante le critiche, la curva logistica è stata un punto di uninone di modelli matematici e sociologici, per esempio la teoria della trasformazione di George Land, che usa il concetto della curve a S per predire un corretto modello affaristico-industriale nei vari scenari di una crescita tecnologica.

[modifica] Voci correlate

Mappa logistica
Funzione sigmoidea
Equazione differenziale di Fisher Estensione dell' equazione logistica alla diffusione spaziale.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../e/q/u/Equazione_logistica.html"

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