Analisi non standard

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L'Analisi non standard è una rifondazione dell'Analisi matematica che recupera in buona parte l'impostazione originale di Leibniz e il concetto di infinitesimo. Fu introdotta da Abraham Robinson nel 1966.

Indice

1 Cenni storici
2 Il metodo di Leibniz e le critiche del Berkeley
3 La derivata secondo Robinson
4 Bibliografia

[modifica] Cenni storici

Il calcolo infinitesimale creato da Leibniz nel XVII secolo si fondava in modo essenziale sul concetto di infinitesimo. Per Leibniz gli infinitesimi sono numeri minori in valore assoluto di ogni numero reale, eppure diversi da zero; un nuovo tipo di numeri per i quali Leibnitz supponeva continuassero a valere le ordinarie regole dell'Algebra.

Grazie al concetto di infinitesimo diventa facile introdurre i concetti di derivata e di integrale e dedurre le regole di derivazione e di integrazione: nasce il calcolo infinitesimale.

Il concetto di infinitesimo nascondeva però una contraddizione logica che fu messa in luce da George Berkeley: gli infinitesimi vengono a volte considerati diversi da zero, altre volte uguali a zero.

Per superare questo problema nel XIX secolo Augustin Cauchy e Karl Weierstrass rifondarono il calcolo infinitesimale abolendo gli infinitesimi e fondandosi invece sul concetto di limite; in questo modo le contraddizioni logiche insite nel concetto di infinitesimo furono superate, ma al prezzo di una notevole complicazione di definizioni e dimostrazioni. Aboliti gli infinitesimi, il calcolo infinitesimale si trasformava nella moderna Analisi matematica.

Nel XX secolo Abraham Robinson, un logico matematico tedesco emigrato negli USA, nel corso dei suoi studi di logica scoprì che tutti gli insiemi numerici potevano essere estesi con numeri "non standard" che ne ereditavano le proprietà; per l'insieme dei numeri reali questi altro non erano che gli infinitesimi di Leibniz, definiti questa volta in modo assolutamente rigoroso; diventava così possibile fondare nuovamente l'Analisi sul concetto di infinitesimo, cosa che Robinson fece nel suo libro Non standard Analysis (1966). E 'Analisi non standard' è il nome dato a questa nuova formulazione dell'Analisi. Definizioni e dimostrazioni ritrovano la semplicità e la linearità che era del calcolo di Leibniz.

Nel 1973 Kurt Gödel, forse il più famoso matematico del XX secolo, disse: "ci sono buoni motivi per credere che l'Analisi non standard in una versione o in un'altra sarà l'Analisi del futuro", una previsione che è ancora lontana dall'essere realizzata. Dopo Robinson vi è stata comunque una fioritura di studi e di tentativi di riformulare l'Analisi sul concetto di infinitesimo, come nel caso della SIA - Smooth Infinitesimal Analysis.

[modifica] Il metodo di Leibniz e le critiche del Berkeley

Per Leibniz la derivata è, per definizione, il rapporto tra l'infinitesimo $d y$ e l'infinitesimo $d x$ ; in simboli:

$f'(x) = {dy \over dx} = {{f(x + dx) - f(x)} \over {dx}}$

Un semplice esempio può ora chiarire la natura delle critiche del Berkeley; si consideri la funzione $y = x 2$ . Applicando la definizione si ha:

${dy \over dx} = {{(x + dx)^2 - x^2} \over {dx}} = {{x^2 + 2xdx + dx^2 - x^2} \over dx} = {{2xdx + dx^2} \over dx}$

dividendo ora il numeratore per $d x$ si ottiene:

${{dy \over dx} = 2x + dx}$

Ma $d x$ è infinitesimo e quindi trascurabile rispetto al numero reale $2 x$ , dunque la derivata vale:

${{dy \over dx} = 2x}$

Su questa disinvolta eliminazione dell'infinitesimo $d x$ si appuntarono le critiche del Berkeley: quando si divide per $d x$ si presuppone che sia diverso da zero, e quando si elimina il $d x$ si presuppone che sia uguale a zero; gli infinitesimi sono dunque entità contradditorie, conclude il Berkeley, che le definisce ironicamente ghosts of departed quantities (fantasmi di entità defunte).

Per superare queste obiezioni c'erano due possibilità:

1. Abolire gli infinitesimi e rifondare il calcolo su nuove basi; è la strada scelta da Cauchy e Weierstrass.

2. Ridefinire in modo rigoroso i concetti di infinitesimo e di derivata; è la strada di Abraham Robinson.

[modifica] La derivata secondo Robinson

Robinson introduce gli infinitesimi come numeri $d x$ tali che, per ogni $N$ naturale > 0 è:

${ 0 < dx < {1 \over N}}$

La somma di un numero reale $x$ e di un numero infinitesimo $d x$ è allora detta numero iperreale $x + d x$ , un po' come la somma di un numero reale e di un numero immaginario costituisce un numero complesso.

Viene inoltre definita la nuova funzione st(_) parte standard che dato un numero iperreale restituisce la sua parte reale; p.es.

$s t (2 + 3 d x) = 2$

A questo punto la nuova definizione di derivata è semplicemente:

$f'(x) = st\left({{f(x + dx) - f(x)} \over {dx}}\right)$

Nell'esempio della funzione $y = x 2$ l'eliminazione finale dell'infinitesimo $d x$ è ora pienamente giustificata.

${dy \over dx} = st(2x + dx) = 2x$

Per Robinson quindi gli infinitesimi sono definitivamente diversi da zero e la loro eliminazione è giustificata dall'uso della funzione st(_).

Anche la definizione di integrale e la dimostrazione del teorema fondamentale dell'analisi risultano molto semplificate usando questa impostazione.

[modifica] Bibliografia

Abraham Robinson, Non-standard Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-04490-2.
Carl B.Boyer, The History of the Calculus and its Conceptual Development, Dover, ISBN 0-486-60509-4.
Richard Courant - Herbert Robbins, Che cos'è la matematica, Universale Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-1200-0, Cap.9 $12, pag. 620.

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Categoria: Calcolo infinitesimale