Vecteur densité de courant

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Sommaire

1 Définition
2 Expression de j
3 Vecteur densité de courant surfacique jS
4 Voir aussi

[modifier] Définition

On notant i le courant électrique dans une portion de conducteur, et soit $\mathrm d\vec S$ un vecteur élément de surface d'une section droite de ce conducteur, on pose :

$\vec j$ le vecteur densité de courant

tel que

$\mathrm di = \vec j\cdot\mathrm d\vec S$ .

On a alors

$i = \iint_S \vec{j} \cdot\mathrm d\vec{S}$ .

Le signe de i est alors lié à l'orientation de la surface S.

[modifier] Expression de j

On montre, du fait que $i=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$ , que dans le cas où il n'y a qu'un seul type de porteur (électron par exemple) on a :

$\vec{j} = q \cdot n \cdot \langle\vec v\rangle$

où

q est la charge d'un porteur,
n la densité volume des porteurs (nombre de porteurs par unité de volume) et
$\langle\vec v\rangle$ le vecteur vitesse moyen des porteurs.

Dans le cas où il y a plusieurs types de porteurs (solution électrolytique par exemple) on aura :

$\vec j=\sum_k q_k \cdot n_k \cdot \langle\vec{v}\rangle_k$

A noter que $\langle\vec{v}\rangle_k$ dépend des autres porteurs de charges.

[modifier] Vecteur densité de courant surfacique j_S

Supposons qu'une dimension du conducteur soit faible devant les autres, on aura alors une « feuille » d'épaisseur e négligeable, alors :

$i = \iint_S \vec{j} \cdot\mathrm d\vec{S} = \int \left(\int_0^e \vec j\ \mathrm dy\right)\ \mathrm dx\cdot\vec u$

on pose alors :

$\vec{j_S} = \int_0^e \vec j\ \mathrm dy$

ce qui donne

$i = \int \vec{j_S}\ \mathrm dx \cdot \vec{u}$

[modifier] Voir aussi

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