Transformée de Möbius

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Les transformées de Möbius ne doivent pas être confondues avec la transformation de Möbius.

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Les transformées de Möbius sont les homographies du plan complexe , c’est-à-dire les applications de la forme :

avec a, b, c et d quatre complexes tels que

Usuellement, on étend cette fonction au compactifié d'Alexandrov de , obtenu en rajoutant à un point dit point à l'infini, et en posant :

et .

Une telle transformée envoie les cercles sur les cercles (en appelant cercle aussi bien les cercles du plan que les droites, considérées comme cercle de rayon infini).

Les transformées de Möbius laissant globalement invariant le cercle unité S¹ sont de la forme :

avec

Plus particulièrement, les transformées envoient z élément de S¹ sur l'autre intersection de la droite (az) avec S¹.