Transformée de Concordia

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La transformée de Concordia, est un outil mathématique utilisé en électrotechnique afin de modéliser un système triphasé grâce à un modéle diphasé.

Sommaire

1 Philosophie de la transformée de Concordia
- 1.1 Exemple
2 Mise en équations
3 Voir aussi

[modifier] Philosophie de la transformée de Concordia

[modifier] Exemple

Un système diphasé constitué de deux bobines perpendiculaires l'une par rapport à l'autre et parcourues par des courants déphasés entre eux de $π / 2$ permet de créer un champ tournant à la vitesse $ω$ .

Schéma

Un système triphasé constitué de bobines et de courants déphasés entre eux de $\frac{2\pi}{3}$ permet de créer un champ tournant à la vitesse $ω$ .

Schéma

[modifier] Mise en équations

On peut modéliser le champ tournant créé par système triphasé par un système diphasé grâce aux transformations suivantes :

$\begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix} = C_{23} \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix} \quad et \quad \begin{bmatrix} i_a\\ i_b\\ i_c \end{bmatrix} = C_{32} \begin{bmatrix} i_\alpha\\ i_\beta \end{bmatrix}$

avec :

$C_{23} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad et \quad C_{32} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} \sqrt{2} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\frac{3}{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\sqrt{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$

Si on veut conserver la composante homopolaire les transformations deviennent :

$\begin{bmatrix} m_h\\ m_\alpha\\ m_\beta \end{bmatrix} = \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2}&-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_a\\ m_b\\ m_c \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} m_a\\ m_b\\ m_c \end{bmatrix} = T \begin{bmatrix} m_h\\ m_\alpha\\ m_\beta \end{bmatrix}$

où $T$ est la matrice de Concordia. Il existe aussi une transformation de Clark qui est la même que celle de Concordia mais qui n'est pas normée. Elle ne conserve donc pas la puissance lors des opérations matricielles.

$T = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{bmatrix} 1 & \sqrt{2} & 0\\ 1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{\frac{3}{2}}\\ 1 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\sqrt{\frac{3}{2}} \end{bmatrix}$