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Sommaire 1 Introduction 2 Définitions 3 Exemples 4 Les énoncés 5 En grandes dimensions 6 Références

[modifier] Introduction

Le théorème des livres ouverts de Giroux est un pont entre la géométrie de contact et la topologie différentielle, il fait le lien entre les structures de contact et les objets purement topologique que sont les décompositions en livre ouvert. En dimension trois le théorème a une démonstration purement topologique et a eu de nombreuses conséquences en topologie en basse dimension. En grandes dimensions la preuve est analytique et les conséquences sont moins nombreuses, sans doute principalement à cause du peu de connaissances disponible sur les groupes de symplectomorphismes.

[modifier] Définitions

Dans toute la suite, V désigne un variété différentielle de dimension impaire 2n+1 close et orientable. Un livre ouvert de V est un couple (K,θ) où

• est une sous-variété close de codimension deux à fibré normal trivial ;
• est une fibration qui, dans un voisinage de , coïncide avec la coordonnée angulaire sur le disque D².

La sous-variété K est appelée reliure du livre ouvert et l'adhérence d'une fibre de θ est appelée page du livre ouvert.

Le lien avec les structures de contact est fourni par la définition suivante dûe à Giroux :

Une structure de contact est portée par le livre ouvert (K,θ) si elle peut être définie par une forme de contact α telle que :

• α induit sur K une forme de contact ;
• dα induit sur chaque fibre F de θ une forme symplectique ;
• l'orientation de K définie par α coïncide avec son orientation comme bord de la variété symplectique (F,dα).

Une telle forme α sera dite adaptée à (K,θ).

Pour établir un lien bijectif avec les structures de contact à isotopie près on doit introduire la notion de stabilisation :

Soit F une surface compacte à bord plongée dans V et a un arc simple et propre de F. On dit qu'une surface compacte F' est obtenue à partir de F par le plombage positif d'un anneau le long de a si où A est un anneau plongé dans V tel que :

• est un voisinage régulier de a dans F;
• A est inclus dans une boule fermée B vérifiant

et l'enlacement des deux composantes de bord de A dans B vaut 1.

D'après un théorème de Stallings, si F est une page d'un livre ouvert (K,θ) et si F' est obtenue à partir de F par plombage d'un anneau, alors il existe un livre ouvert de V dont F' est une page.

On appelle stabilisation une suite finie de plombages positifs.

[modifier] Exemples

Dans muni des coordonnées polaires le nœud trivial {r₁ = 0} est la reliure du livre ouvert dont la fibration est simplement θ₁ et dont les pages sont de disques. En projection stéréographique dans dont le pôle est sur la reliure, le livre ouvert devient le couple (Oz,θ) en coordonnées cylindriques (z,r,θ). On voit donc les pages d'un livre dont la reliure est infinie et qu'on a ouvert à 360°.

Toujours dans S³ on peut choisir comme reliure l'entrelac de Hopf positif ou le négatif qui sont définis comme

H ₊ = {z₁z₂ = 0} et

avec comme fibration . Les pages de ces deux livres ouverts sont des anneaux.

Les deux premiers exemples portent la structure de contact canonique sur la sphère (voir les exemples de géométrie de contact) mais celui dont la reliure est H ₋ porte une structure de contact vrillée. Le deuxième exemple est, à isotopie près, obtenu par plombage positif du premier le long de n'importe quel arc allant du bord au bord dans une page.

[modifier] Les énoncés

La définition de structure de contact portée par un livre ouvert permet de réinterpréter le théorème de Thurston-Winkelnkemper ainsi :

Tout livre ouvert porte au moins une structure de contact.

Et maintenant le théorème de Giroux : Soit V une variété close de dimension trois.

Toutes les structures de contact portées par un même livre ouvert de V sont isotopes.

Toute structure de contact de V est portée par un livre ouvert.

Deux livres ouverts de V portant la même structure de contact ont des stabilisations isotopes.

On peut donc résumer la situation ainsi : la notion de structure de contact portée par un livre ouvert établie une bijection entre les structures de contact à isotopie près et les livres ouverts à isotopie et stabilisation près.

[modifier] En grandes dimensions

En dimension plus grandes que 5, il existe aussi des théorèmes analogues dûs à Giroux et Mohsen mais qui demandent un peu plus de définitions.

[modifier] Références

• Giroux, E. Géométrie de contact: de la dimension trois vers les dimensions supérieures, Proceedings of the ICM, Beijing 2002, vol. 2, 405-414