Théorème de Bertrand

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Vous avez de nouveaux messages (diff^?).

Le mathématicien Joseph Bertrand (1822-1900) démontra en 1873 (Compte-Rendus de l'Académie des Sciences, vol.77, p.849) en mécanique du mouvement à force centrale le théorème suivant : seules les lois de force de Hooke -k.OM, qui produit une ellipse où péricentre P et apocentre A forment un angle (POA) égal à 90° , et de Newton : -k/r². $u r$ , qui produit une ellipse où angle(POA)= 180°, produisent une trajectoire fermée, quelles que soient les conditions initiales.

[modifier] La démonstration de Arnol'd

Lemme 1 : on montre que l'angle AOP pour une loi de force en $1 / r n$ , vaut ,quand l'énergie E° tend vers zéro par valeurs négatives, et donc que l'apocentre est très excentré, $\widehat{AOP} = {\pi \over{3-n}}$ ; (il faut $n < 3$ , pour ne pas avoir d'effondrement de la barrière centrifuge).
Lemme 2 : on montre que $U (r)$ doit être une loi puissance, en regardant le cas quasi-circulaire (voir mouvement à force centrale) : $\widehat{AOP} = {\pi \over \sqrt{3-n}}$ .(Le cas logarithmique n=1 est exclu par examen direct)
Conclusion : il faut $3 - n = 1$ ; c'est le cas des orbites de Kepler.
Lemme 3 : le cas de la force en $r p$ se résout par la dualité de la transmutation de la force :(3+p)(3-n) =4 ; par conséquent, à n=2 correspond p=1 : c'est le cas de l'ellipse de Hooke.

Fin de démonstration^[1]

Le premier à se rendre compte que le cas linéaire de Hooke (très simple) donnait la solution du problème de Kepler est Isaac Newton. Émile Goursat, Tullio Levi-Civita, puis Bohlin retrouvèrent ce théorème via la transformation conforme z->z², qui transforme la trajectoire de Hooke en celle de Kepler, et par changement d'echelle de temps le mouvement de Hooke en mouvement de Kepler, mais évidemment la force est changée de $- k . r$ à $- k' / r 2$ : cela s'appelle la régularisation du "choc" à moment cinétique quasi-nul.

[modifier] Généralisation du problème de Bertrand

Si on ne suppose pas le champ central , il y a évidemment plus de possibilités. On en connaît certaines. Pour deux degrés de liberté , cela arrive quand le système possède une équation d'Hamilton-jacobi séparable dans deux systèmes de coordonnées. Ces cas renvoient à la supersymétrie signalée dans l'article puits de potentiel.

Le mouvement libre sur la sphère S³ donne par projection stéréographique l'hamiltonien $H = {p^2\over (1+q^2)^2}$ dont les trajectoires sont évidemment fermées.
Le mouvement libre sur la poire de Paul Tannery, d'équation cartésienne 16a²(x²+y²) = z²(2a²-z²) est périodique (1892)
Si l'on exige que les trajectoires soient des coniques, Darboux (1877) et Halphen (1877) ont trouvé deux forces centrales (non conservatives car dépendant de l'angle polaire) en $r \over d^3$ où d représente la distance à une droite du plan (généralise Newton, via une polaire) et en $r \over D^3$ , avec $D 2 = a x 2 + 2 b x y + c y 2$ .
Si on abandonne l'idée de force centrale, les trajectoires peuvent être des coniques via des forces parallèles de deux types.
Enfin sur la sphère S², Besse (1978) donne les déformations de la métrique conduisant à des courbes fermées sans symétrie de révolution.