Système d'équations

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations mathématiques. Une solution du système est un ensemble de solutions satisfaisant chaque équation du système.
On note par exemple:

Ce système a une unique solution (x,y) = (2,-1)
Plus généralement, un système d'équations à n inconnues doit comporter n équations pour pouvoir être résolu.

[modifier] Exemple de système d'équations

• Système d'équation paramétrique d'une droite dans l'espace:

[modifier] Méthodes de résolution d'un système d'équation

1) Méthode de substitution
Pour résoudre de cette manière, il suffit d'expliciter une inconnue dans l'une des équations du système(c'est-à-dire l'exprimer en fonction des autres inconnues), puis de substituer l'inconnue explicitée dans les autres équations.

Ici, y est déjà explicité(=4x-3), il suffit maintenant de le remplacer par sa valeur exprimée grâce à des x dans l'équation 2, on substitue dans 2

Nous avons maintenant une équation du premier degré à une seule inconnue, résolue, elle donne:
x=1 Pour trouver y, il suffit de revenir à sa forme explicitée et d'effectuer le calcul, maintenant que nous connaissons x.
y=4x-3=4(1)-3=4-3=1
On a résolu le système. On note: S={(1;1)}. Plus généralement, sous la forme S={(x;y)}

2) Méthode d'addition ou de combinaison linéaire
Ici, il faut multiplier une des équations pour qu'un des termes ait le même coefficient dans chaque équation puis d'additionner ou soustraire entre elles les deux équations pour faire disparaître ledit terme en question.

On multiplie la première équation par 5 pour que le terme y ait le même coefficient dans les deux équations. Cela donne:

En additionnant les deux équations entre elles, le terme y disparaît et on obtient:
(20x-5y) + (5y+3x) = 20x+3x+5y-5y = 15+8
23x=23
D'où x=1 que l'on peut substituer dans une des équations d'origine pour déterminer l'autre terme y
Remarque: Il est pratique d'aligner les termes les uns sous les autres pour mieux les manipuler.