Sous-ensemble flou

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La théorie des sous-ensembles flous est, en mathématiques, une théorie du domaine de l’algèbre abstraite.

[modifier] Présentation

La théorie des sous-ensembles flous a été développée par Lotfi Zadeh en 1965 afin de représenter mathématiquement l'imprécision relative à certaines classes d'objets. Les parties floues (ou sous-ensembles flous) ont été introduites afin de modéliser la représentation humaine des connaissances, et ainsi améliorer les performances des systèmes de décision qui utilisent cette modélisation. Les sous-ensembles flous sont utilisés soit pour modéliser l'incertitude et l'imprécision, soit pour représenter des informations précises sous forme lexicale assimilable par un système expert.

[modifier] Définition

Les parties floues (ou sous-ensembles flous) sont définies comme des ensembles pouvant contenir des éléments de façon partielle.

[modifier] Propriétés

Une partie floue A de B est caractérisée par une application de B dans [0,1]. Cette application, appelée fonction d'appartenance et notée μ_A représente le degré de validité de la proposition « x appartient à A » pour chacun des éléments x de B. Si μ_A(x) = 1, l'objet x appartient totalement à A, et si μ_A(x) = 0, il ne lui appartient pas du tout. Pour un élément x donné, la valeur de la fonction d'appartenance μ_A(x) est appelée degré d'appartenance de l'élément x au sous-ensemble A.

Le noyau d'une partie floue A est l'ensemble des éléments qui appartiennent totalement à A c.a.d. dont le degré d'appartenance à A vaut 1. $n(A)=\left\{x \in E / \mu _{A}(x)=1 \right\} \,$
Le support d'une partie floue A est l'ensemble des éléments appartenant, même très peu, à A c.a.d. dont le degré d'appartenance à A est différent de 0. $supp(A)=\left\{x \in E / \mu _{A}(x)>0 \right\} \,$
La hauteur d'un sous-ensemble flou A de E est définie par $h(A)=sup\left\{\mu _{A}(x)/x\in E\right\} \,$
Une partie floue A de B peut aussi être caractérisée par l'ensemble de ses α-coupes. Une α-coupe d'un sous-ensemble flou A est le sous-ensemble net (classique) des éléments ayant un degré d'appartenance supérieur ou égal à α.

α-coupe(A) = {x ∈ B| μ_A(x) ≥ α}

[modifier] Remarques

Contrairement à ce qu'il paraît au premier abord, la théorie des sous-ensembles flous est très différente de la théorie des ensembles, quoiqu'en tant que théorie mathématique, elle se fonde sur elle. On peut toucher du doigt cette différence en observant que, grâce à l'axiome de fondation, un ensemble fini a un nombre fini de sous-ensembles alors qu'il a un nombre infini de sous-ensembles flous.