Problème du voyageur de commerce

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Le problème du voyageur de commerce consiste, étant donné un ensemble de villes séparées par des distances données, à trouver le plus court chemin qui relie toutes les villes. C'est un problème NP-complet.

[modifier] Approche simplifiée

L'énoncé du problème du voyageur de commerce est le suivant : étant donné n points (des « villes ») et les distances séparant chaque point, trouver un chemin de longueur totale minimale qui passe exactement une fois par chaque point et revienne au point de départ.

Ce problème est plus compliqué qu'il n'y paraît ; on ne connaît pas de méthode de résolution permettant d'obtenir des solutions exactes en un temps raisonnable pour de grandes instances (grand nombre de villes) du problème. Pour ces grandes instances, on devra donc souvent se contenter de solutions approchées, car on se retrouve face à une explosion combinatoire : Le nombre de chemins possibles passant par 69 villes est déjà un nombre de 100 chiffres. Pour comparaison, un nombre de 80 chiffres permettrait déjà de représenter le nombre d'atomes dans tout l'univers connu !

Ce problème peut servir tel quel à l'optimisation de trajectoires de machines-outils par exemple, pour minimiser le temps total que met une fraiseuse à commande numérique pour percer n points dans une plaque de tôle. Il se posait également pour optimiser la vitesse de tracé d'une structure (en BTP, par exemple) par une table traçante à l'époque où ces périphériques étaient mécaniques, et non électroniques comme aujourd'hui.

Plus généralement, divers problèmes de recherche opérationnelle se ramènent au voyageur de commerce. Un voyageur de commerce peu scrupuleux serait intéressé par le double problème du chemin le plus court (pour son trajet réel) et du chemin le plus long (pour sa note de frais).

[modifier] Problème détaillé

Voici un énoncé plus formel du problème du voyageur de commerce sous forme constatée de problème de décision.

Données :

un graphe complet $G = (V, A,ω)$ avec $V$ un ensemble de sommets, $A$ un ensemble d'arcs et $\omega : A \rightarrow \mathbb{N}$ une fonction de coût sur les arcs ;
un entier $B \in \mathbb{N}$