Loi de Cauchy
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La loi de Cauchy, appelée aussi loi de Lorentz est une loi de probabilité courante.
Une variable aléatoire X suit une loi de Cauchy si elle admet une densité continue fX par rapport à la mesure de Lebesgue, où :
dépendant des deux paramètres x0 et a
Cette ditribution est symétrique par rapport à x0, le paramètre a donne lui une information sur l'étalement de la fonction.
[modifier] Espérance et écart type
La loi de Cauchy n'admet pas d'espérance ni d'écart type fini. En effet,
n'est pas intégrable selon les critères de Lebesgue
car 
d'intégrale infinie
Cependant, x0 est souvent considéré comme la "moyenne" de la loi de Cauchy, car :
En revanche, la loi de Cauchy n'admet jamais d'écart type fini, en effet 
[modifier] Loi de Cauchy et théorèmes limite
La loi de Cauchy est un des rares cas où la Loi des grands nombres ne s'applique pas. Elle nous montre ainsi que la condition de l'espérance définie selon l'intégrale de Lebesgue est indispensable à l'application de la loi. On remarque que les valeurs moyennes s'approchent de xo mais il arrive toujours un moment où une valeur trop éloignée "empèche" la moyenne de converger. La probabilités d'obtenir des valeurs éloignées de x0 est en fait trop élevée pour permettre à la moyenne empirique de converger.
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