Hôtel de Hilbert

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L'hôtel de Hilbert, dit aussi hôtel infini, est un paradoxe mathématique énoncé par le mathématicien allemand David Hilbert dans les années 1920 et visant à montrer qu'on ne raisonne pas avec l'infini (noté $\,\!\infty$ ), comme on le fait avec les nombres entiers.

Sommaire

1 Description
- 1.1 Infini et ordinaux
- 1.2 L'hôtel «continu» et le car «tordu»
2 Variante de Gamow

[modifier] Description

Supposons qu'un hôtelier fictif possède un hôtel fictif ayant un nombre infini de chambres toutes occupées. Malgré cela, l'hôtelier peut toujours accueillir un nouveau client.

En effet, il suffit que l'occupant de la première chambre s'installe dans la seconde, que celui de la seconde s'installe dans la troisième, et ainsi de suite. Ce raisonnement induit une bijection entre l'ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ et ce même ensemble privé de 1 ( $\mathbb{N}\,\backslash\,\{1\}$ ). On peut l'illustrer par l'égalité suivante:

$\ 1+\infty = \infty$

Ce paradoxe peut être modifié pour montrer que l'hôtelier peut accueillir une infinité dénombrable de nouveaux clients. Pour ce faire il faut que le client occupant la chambre n°2 prenne la chambre n°4, l'occupant de la n°3 la n°6, celui de la n°4 la n°8, et ainsi de suite. Chacun occupe la chambre au numéro double de celui de sa chambre actuelle, de telle sorte que toutes les chambres à numéro impair deviennent libres. Et puisqu'il existe une infinité de nombres impairs, l'infinité de nouveaux clients pourra occuper les chambres correspondantes. Une bijection est cette fois-ci effectuée entre l'ensemble des entiers naturels et leur double : $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, n \mapsto 2 n$ .

[modifier] Infini et ordinaux

On notera que dans la formule ci-dessus, nous n'avons pas écrit :

$\ \infty + 1 = \infty$

car dans les ordinaux, l'addition n'est pas commutative et l'on a effectivement pour tout ordinal $\ \alpha$ :

$\ \alpha + 1 \not= \alpha.$

En revanche, pour les ordinaux infinis et seulement pour eux, on a :

$\ 1+\alpha = \alpha.$

[modifier] L'hôtel «continu» et le car «tordu»

Une nouvelle situation, toujours plus complexe, est envisageable : l'arrivée d'un car bien particulier contient lui aussi une infinité de passagers, mais à la disposition intrigante. Si on numérote 1 la place la plus au fond du car, et 0 celle tout devant, à chaque nombre réel dans l'intervalle [0, 1] est associé une place dans le car. En d'autres termes, ce car est « tordu sur lui-même », car entre deux places il existe toujours une place. Et toute suite infinie de places, de plus en plus proches, converge vers une place du car. L'hôtel infini peut-il toujours loger les passagers ?

On a vu que considérer un hôtel vide ou plein est similaire, on vide l'hôtel en mettant tout le monde dans les chambres paires, de sorte que les nouvelles chambres soient les chambres impaires. Les passagers sont accueillis de telle sorte que la chambre numéro n soit occupée par un passager du car, qui occupait la place $r n$ . Or $r_n = 0, a_n^1, ..., a_n^m, ...$ en effectuant le développement décimal de ce réel.

Peut-on faire entrer tout le monde ? En d'autres termes est-ce que tout réel de [0, 1] est un de ces $r n$ ? Considérons le passager assis à la place $r = 0, b 1,..., b m,...$ avec $\forall i, b_i \neq a_i^i$ , comme $\forall n, r \neq r_n$ , puisque ces deux nombres diffèrent sur la n-ième décimale, il n'a pu avoir de place dans l'hôtel, et reste donc devant la porte.

Alors comment construire un hôtel hébergeant tous les passagers ? La solution consiste, non plus à numéroter les chambres par des entiers, mais par des ensembles, finis ou non, d'entiers.

Une autre question peut être soulevée : Entre l'hôtel de départ, et celui qu'on vient de constuire, y a-t-il un hôtel permettant de contenir un nombre différent de personnes ? C'est l'hypothèse du continu.

[modifier] Variante de Gamow

Dans son livre Un, deux trois... l'infini, après avoir exposé ce problème, George Gamow mystifie son lecteur en lui proposant cette variante finie simple : Un hôtel comporte six chambres libres. Sept voyageurs se présentent. Peut-on leur donner une chambre à chacun ?

Rien de plus simple, affirme Gamow : on met le premier voyageur dans la première chambre; puis le deuxième dans la première chambre en lui demandant d'attendre là quelques instants. Puis le troisième dans la deuxième chambre, le quatrième dans la troisième chambre (...) et en fin de compte le sixième dans la cinquième chambre. Il n'y a plus, dit-il, qu'à revenir dans la première chambre chercher le septième voyageur, et à lui donner la sixième chambre.

Après cet exposé, la déstabilisation du lecteur pendant quelques secondes est garantie ! Par cet exemple, Gamow attirait l'attention, dans ses questions, sur l'intérêt de bien savoir toujours ce que l'on compte, et comment on le compte, une erreur étant vite arrivée.