Groupe de Coxeter
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Un groupe de Coxeter est un groupe généré par les réflexions sur l'espace euclidien ou, plus abstraitement, tout groupe isomorphe à un tel groupe de réflexion. Les groupes de Coxeter se retrouvent virtuellement dans tous les domaines des mathématiques et de la géométrie. En particulier, les groupes diédraux, ou les groupes d'isométries de polyèdres réguliers, sont des groupes de Coxeter. Les groupes de Weyl sont d'autres exemples de groupe de Coxeter.
Ces groupes sont nommés d'après le mathématicien H.S.M. Coxeter.
[modifier] Définition formelle
On peut également définir formellement un groupe de Coxeter comme un groupe de présentation
où mij est à valeurs dans 
est symétrique (mij = mji) et vérifie mii = 1, 
si 
. La condition 
signifie par convention qu'aucune relation n'est imposée entre ri et rj. Remarquons que mij = 2 ne signifie rien d'autre que le fait que ri et rj commutent.
[modifier] Exemple
Le groupe symétrique 
est un groupe de Coxeter. On peut le voir comme le groupe des isométries d'un simplexe à n dimensions, ou bien utiliser la présentation ci-dessus : est généré par les transpositions de la forme (1,2),(2,3),...,(n-1,n). Les relations sont données par le fait que deux transpositions commutent si elles ne sont pas consécutives, tandis que (k,k + 1)(k + 1,k + 2) est d'ordre 3.
Les groupes de Coxeter finis sont complétement classifiés, par le biais des Graphes de Coxeter.
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