Filtre électrique linéaire

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Un filtre électrique linéaire est une interconnexion de dipôles électriques linéaires (condensateur, résistance, ...) permettant de réaliser la fonction de filtrage, chaque élément (ou composant de base ) étant linéaire. Une propriété caractéristique de ces interconnexions est que leur raccordement est aussi une interconnexion linéaire. Pour réaliser des filtres très sélectifs, on est obligé d'utiliser des amplificateurs opérationnels;ceux-ci injectent de la puissance électrique dans le signal. Se pose alors le problème de la stabilité du filtre construit.

[modifier] Exemple

Un signal de tension e(t) (en volts) est appliqué entre les points A et B d'un circuit à deux éléments placés en série:une résistance R ( en ohms) entre A et D ; puis une capacité C ( en farads) entre D et B .

Le signal dit « filtré » est la tension s(t) récupérée entre D et B :un élève doit savoir montrer que s(t) est liée à e(t) par l'équation différentielle linéaire à coefficients réels positifs constants, du premier ordre suivante:

$RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) = e(t)$

A Haute-Fréquence(HF) ( f >>1/RC), s est négligeable devant RC.ds/dt :l'équation se lit alors comme s(t) = intégrateur du signal e(t), mais d'amplitude faible par rapport à e(t) :

$s(t) = \int_0^t e(t) dt/RC$

A Basse-Fréquence(BF), au contraire s(t) # e(t) : le filtre est dit passe-bas, du premier ordre.(Pour être un peu plus précis, s(t) # e^(t-RC) : le filtre répond avec un léger retard égal à la constante de temps RC).

Note annexe : à Bac+1 , il est facile de généraliser à un filtre « à 2 RC », puis « à 3 RC ». Le résultat des calculs (facilités par la méthode du calcul symbolique d'Heaviside) est :

$(RC)^2 \cdot \frac{d^2s(t)}{dt^2} + 3RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) = e(t)$

$(RC)^3 \cdot \frac{d^3s(t)}{dt^3} + 6 (RC)^2 \cdot \frac{d^2s(t)}{dt^2} + 5RC \frac{ds(t)}{dt} + s(t) = e(t)$

On reconnaît un filtre passe-bas du deuxième (resp: du troisième) ordre.

En BF la solution est évidemment s(t) # e^(t-3RC) (resp :e^(t-5RC)), comme cela est « trivial » en « lisant le schéma du circuit ». [Comme toujours la notion de trivialité est fonction du degré de familiarisation avec le sujet !].

Dans le dernier cas , il est classique de renvoyer à l'entrée du filtre une tension e(t)= - 29.s(t) via un amplificateur opérationnel, cela permet d'obtenir un oscillateur « quasi-sinusoïdal » $s(t) = A \cdot cos( 2 \pi f t+ \varphi) \,$ de fréquence $f = \frac{1}{RC} \cdot 5^\frac{1}{2} \,$ , comme il est facile de le vérifier sur l'équation différentielle. L'amplitude A n'est régulée que par les non-linéarités non prises en compte dans cette étude simplifiée.

[modifier] Stabilité dun filtre

On montre que la stabilité d'un filtre électrique linéaire (d'ordre n) se ramène à l'étude des racines d'un polynôme à coefficients réels positifs( de degré n) « dit polynôme caractéristique de l'equation différentielle linéaire d'ordre n » : pour que le filtre soit stable , il faut que les n racines (complexes) de ce polynôme aient une partie réelle négative.Ce polynôme est dans ce cas appelé polynôme de Hurwitz.

De ce fait, l'étude des racines d'un polynôme à coefficients réels a fait l'objet d'études approfondies depuis Descartes, puis surtout Charles Sturm, Routh et Hurwitz , puis Jury et Fujiwara pour les filtres numériques (c’est-à-dire non analogiques) qui sont ceux de l'électronique moderne.

Note annexe :dans le cas d'une équation linéaire à coefficients constants réels du deuxième ordre,le polynôme caractéristique a x² + b x + c est de Hurwitz ssi (si et seulement si) a, b et c sont positifs (par convention on choisit c positif sans restriction de généralité).Un physicien se rappelera bien le cas LRC , avec a= L , b= R , c= 1/C : la compréhension de la circulation de l'énergie électromagnétique 1/2 L I² et de l'énergie électrostatique 1/2 q²/C et de la dissipation de puissance par effet Joule lui permet d'interpréter aisément ces trois conditions, dites de bifurcation(sinon, le système change radicalement de comportement!). Le cas d'une équation de troisième ordre demande une condition plus subtile : a x³ + b x² + c x + d est de Hurwitz ssi : a, b, c, d sont positifs ET (bc-ad)>0.Là encore l'electronicien interprète aisément le terme supplémentaire d = D >0 est une FDNR (frequency dependant negative resistor) donc qui injecte dans le circuit la puissance - D $ω 2$ .I²: il est clair alors qu'à la pulsation 1/ (LC)½,si D devient trop grand, I(t) explose : le niveau critique est bc =ad.

A la lumière de ces indications, on réinterprète aisément le coefficient 29 du paragraphe antérieur (oscillateur quasi-sinusoïdal)

[modifier] Bibliographie

Wai-Kai Chen , Circuits and Filters Handbook, CRC Press, 2003, ISBN 0-8493-0912-3 [2961 p., très complet ; suites d'articles assez courts bien agencés. Niveau : ingénieur, BTS fort]
Benidir et Barrett , Stabilité des filtres et des systèmes linéaires, Dunod, 1999,ISBN 2 10 004432 X [256 p., plutôt mathématique ; niveau maîtrise; il complète un article d'Histoire des sciences]
M. Barret, Historique depuis Cauchy jusqu'à Fujiwara des solutions au problème de la localisation des zéros d'un polynôme dans le plan complexe, Prépublication de l'Institut de recherche mathématique avancée, vol. 22, Strasbourg 1996 [Niveau : professeur de mathématiques]

La saga de la construction des principaux circuits au doux parfum émouvant et suranné est contée dans :