Dimension de Hausdorff

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La dimension de Hausdorff est un nombre réel positif, éventuellement l'infini, associé à tout espace métrique. Cette notion étend celle de dimension d'un espace vectoriel réel. Introduite en 1918 par le mathématicien Felix Hausdorff, elle a été développée par Abram Samoilovich Besicovitch. Elle est parfois appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch.

[modifier] Introduction informelle

Intuitivement, la dimension d'un ensemble à l'instar d'une partie d'un espace euclidien est le nombre de paramètres indépendants pour décrire un point dans cet ensemble. Ainsi a-t-on besoin d'un seul paramètre pour décrire un point sur une règle, de deux paramètres pour décrire la position d'un clou sur un mur, de trois paramètres pour décrire la position d'une balle de tennis dans l'espace, et plus généralement de n paramètres pour décrire un point dans $R n$ .

Comment atteindre cette donnée en utilisant uniquement la structure métrique ? Si on dispose de d paramètres pour repérer un point, pour l'approximer à $ε$ près, on devrait disposer d'un $O (1 / ε d)$ points. Soit un espace topologique compact X. Posons N(r) le nombre minimal de boules ouvertes de rayon r nécessaires pour recouvrir X. Lorsque $N (r)$ croît comme $1 / r d$ , l'espace X est dit de dimension d.

[modifier] Définition

La dimension de Haussdorff offre un moyen usuel de calcul de la dimension d'un espace métrique.

$H^s_{\delta}(E)=\inf\left\{\sum_{i=1}^{\infty}diam(A_i)^s\right\}$

$H^s(E)=\lim_{\delta\rightarrow 0}H^s_{\delta}(E)$

$\dim_H(E)=\inf\left\{s,H^s(E)=0\right\}=\sup\left\{s,H^s(E)=\infty\right\}$

[modifier] Exemples

Le cercle est de dimension de Hausdorff 1.
La dimension de Hausdorff de la représentation triadique de Cantor est ln(2)/ln(3).
La dimension de Hausdorff du triangle de Sierpinski est ln(3)/ln(2).
La dimension de Hausdorff du tapis de Sierpinski est ln(8)/ln(3).
La trajectoire du mouvement brownien en dimension 2 est presque sûrement de dimension 2.