Caractéristique d'Euler

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La caractéristique d'Euler - ou d'Euler-Poincaré - est un invariant numérique important qui apparaît dans les domaines utilisant des méthodes cohomologiques. Elle est donnée en général par la somme alternée des dimensions des groupes de cohomologie considérés :

$\chi=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i dim(H^i)$

Sommaire

1 Théorie des groupes
2 Topologie algébrique
- 2.1 Définition
- 2.2 Propriétés
  - 2.2.1 Exemples
3 Voir aussi

[modifier] Théorie des groupes

Dans le cas de la cohomologie des pro-p-groupes, la caractéristique d'Euler permet par exemple de caractériser la dimension cohomologique : soit G un pro-p- groupe, alors, G est de dimension cohomologique inférieure à n si et seulement si la caractéristique d'Euler tronquée à l'ordre n est multiplicative à travers les sous-groupes ouverts de G, c'est-à-dire si et seulement si :

$\forall U<_o G,\sum_{i=0}^n (-1)^i dim_{\mathbf{F}_p} H^i(U,\mathbf{F}_p)=(G:U)\sum_{i=0}^n (-1)^i dim_{\mathbf{F}_p} H^i(G,\mathbf{F}_p)$

[modifier] Topologie algébrique

[modifier] Définition

En topologie algébrique, la caractéristique d'Euler d'une variété, notée c ou encore χ (Chi), est la somme alternée des nombres de Betti. En particulier, c = 2 pour le plan projectif et la sphère, c = 1 pour le disque du plan et c = 0 pour le tore et la bouteille de Klein.

[modifier] Propriétés

La caractéristique d'Euler d'un objet représente le nombre de singularités nécessaires pour mailler cet objet avec ses géodésiques.

[modifier] Exemples

La sphère a pour caractéristique 2 : elle possède deux pôles.
Le tore a une caractéristique nulle : il est possible de le mailler sans introduire de singularité.