Vikipedio:Projekto matematiko/Normala matrico
El Vikipedio
 |
Ĉi tiu artikolo montras stilajn aŭ/kaj gramatikajn aŭ/kaj strukturajn problemojn kaj bezonas poluradon por konformi al pli bona nivelo de kvalito. Post plibonigo movu la artikolon al Normala matrico (eble la nomo mem bezonas korekton) Se la ligo estas ruĝa, vi povas movi la artikolon. Se la ligo estas blua, la alia artikolo pri la temo jam ekzistas kaj tiun kaj ĉi tiun artikolon necasas kunigi. |
Kompleksa kvadrata matrico A estas normala matrico se kaj nur se
- A * A = AA *
kie A* estas la konjugita transpono de A (se A estas (reala, reela) matrico, ĉi tiu estas la sama kiel la transponi de A).
[redaktu] (Ekzemploj, Ekzemplas)
Ĉiuj (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta), hermita, deklivo-hermita kaj pozitivaj definitivaj matricoj estas normala. Se A estas (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) A*A=Aa*=Mi. Se A estas hermita, tiam A*=A kaj (do, tiel) Aa*=Aa=A*A.
Sed ĝi estas ne la (kesto, okazo) (tiu, ke, kiu) ĉiuj normalaj matricoj estas ĉu (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta), hermita, aŭ pozitiva definitiva, ekzemple,
estas normala ekde
sed la matrico estas klare ne (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta), nek ĉu hermita, nek pozitiva definitiva.
[redaktu] Konsekvencoj
Ĝi estas utila al (opinii, pensi) de normalaj matricoj en analogio al kompleksaj nombroj, inversigeblaj normalaj matricoj en analogio al ne-nulaj kompleksaj nombroj, la konjugita transpono en analogio al la kompleksa konjugito, (unita (ankaŭ unuohava [ringo], unuargumenta) matricoj en analogio al kompleksaj nombroj de absoluta valoro 1, hermitaj matricoj en analogio al reelaj nombroj kaj pozitivaj definitivaj matricoj en analogio al pozitivaj reelaj nombroj.
La koncepto de normaleco estas ĉefe grava ĉar normalaj matricoj estas precize la aĵoj al kiu la spektra teoremo aplikas; en alia (vortoj, vortas), normalaj matricoj estas precize tiuj matricoj (tiu, ke, kiu) povas esti (prezentita, prezentis) per diagonala matrico kun respekto al pozitive elektita ortnormala bazo de Cn. Frazita malsame: matrico estas normala se kaj nur se ĝia (ajgenspacoj, ajgenspacas) (naski, generi) Cn kaj estas duoplarĝa perpendikulara kun respekto al la normo ena (produkto, produto) de Cn.
En ĝenerala, la (sumo, sumi) aŭ (produkto, produto) de du normalaj matricoj (bezoni, bezono, necesa) ne esti normala. Tamen, se A kaj B estas normala kun _AB_ = Ba, tiam ambaŭ _AB_ kaj A + B estas ankaŭ normala kaj plue ni povas samtempe _diagonalize_ A kaj B en jeno (senso, senco): tie ekzistas unuargumenta matrico U tia _UAU_* kaj _UBU_* estas ambaŭ diagonalaj matricoj. En ĉi tiu (kesto, okazo), la kolumnoj de U* estas (ajgenvektoroj, ajgenvektoras) de ambaŭ A kaj B kaj (formo, formi) ortnormala bazo de Cn.
Se A estas ambaŭ triangula matrico kaj normala matrico, tiam A estas diagonalo. Ĉi tiu povas vidiĝi per (aspektanta, rigardanta) je la diagonalaj elementoj de A*A kaj Aa*, kie A estas normala, triangula matrico.
Se A estas inversigebla normala matrico, tiam tie ekzistas unuargumenta matrico U kaj pozitiva definitiva matrico R tia (tiu, ke, kiu) A = _RU_ = _UR_. La matricoj R kaj U estas unike difinita per A. Ĉi tiu (propozicio, frazo, ordono) povas vidiĝi kiel analoga (kaj ĝeneraligo) de la polusa prezento de ne-nulaj kompleksaj nombroj.
La koncepto de normalaj matricoj povas esti ĝeneraligita al normalaj operatoroj sur Hilbertaj spacoj kaj al normalaj eroj en C-stelo (algebroj, algebras).
