Tangente
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Das Wort Tangente leitet sich aus dem Lateinischen von tangere = berühren ab.
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[Bearbeiten] Mathematik
[Bearbeiten] Tangente an einen Kreis
Am bekanntesten sind die Tangenten an einem Kreis. Eine Tangente ist eine Gerade, die mit dem gegebenen Kreis genau einen Punkt gemeinsam hat (wie eine Schiene, die von einem Rad in einem einzigen Punkt berührt wird). Man sagt daher, dass die Tangente den Kreis (die Kreislinie) berührt, und bezeichnet den gemeinsamen Punkt als Berührpunkt oder Tangentialpunkt. Eine Tangente steht senkrecht auf dem entsprechenden Radius, also auf der Verbindungsstrecke zwischen dem Kreismittelpunkt und dem Berührpunkt.
[Bearbeiten] Konstruktion
Sind ein Kreis k mit Mittelpunkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises gegeben, so existieren zwei verschiedene Tangenten durch P. Man konstruiert sie mit Zirkel und Lineal, indem man den Thaleskreis über der Strecke [PM] zeichnet. Dieser Thaleskreis schneidet den Kreis k in zwei Punkten. Da es sich hierbei um die Berührpunkte handeln muss, sind die Verbindungsgeraden dieser Schnittpunkte mit P die gesuchten Kreistangenten.
In der analytischen Geometrie ist eine Gleichung der Kreistangente gegeben durch
bzw. gleichwertig durch
.
Dabei wurden die Bezeichnungen M(xM | yM) für den Kreismittelpunkt, r für den Radius, B(xB | yB) für den Berührpunkt und X(x,y) für einen beliebigen Punkt der Tangente verwendet.
Siehe auch: Sekante, Passante, Tangentenviereck, Sekanten-Tangenten-Satz, Tangens
[Bearbeiten] Tangente an eine Kurve
Die Kreistangente ist ein Spezialfall der Tangente an eine Kurve. Ist P ein Punkt der gegebenen Kurve, so bezeichnet man eine Gerade als Tangente an die Kurve im Punkt P, wenn sie den Punkt P mit der Kurve gemeinsam hat und dort dieselbe Richtung hat wie die Kurve, sich also unter allen Geraden durch P am besten an die Kurve "anschmiegt". Auch hier ist es üblich, von Berührung der Kurve zu sprechen. Zu beachten ist, dass eine Kurventangente mit der zugehörigen Kurve weitere Punkte gemeinsam haben kann.
Ist die gegebene Kurve der Graph einer reellen Funktion f, so läuft die Forderung nach gleicher Richtung im Punkt P(x0 | f(x0)) darauf hinaus, dass die Steigung (der Anstieg) der Tangente gleich der ersten Ableitung von f an der Stelle x0, also gleich f' (x0) sein muss (siehe auch Punkt-Steigungs-Formel).
.
Die Tangente entspricht der besten linearen Näherung für die Funktion f an der Stelle x0:
für 
Ein noch allgemeineres Konzept verwendet die Differentialgeometrie: Eine Kurve im 
sei durch eine auf dem reellen Intervall [a,b] definierte Funktion ![\gamma:\,[a,b]\to\mathbb{R}^n](../../../math/9/d/0/9d09884ee93ddcdbc31614940e8c126f.png)
gegeben. Ist 
(mit ![t_0 \in [a,b]](../../../math/a/1/7/a1791410ec38d050b7d89d4862fadbb2.png)
) ein Kurvenpunkt, so nennt man die erste Ableitung von γ an der Stelle t0 (also 
) einen Tangentialvektor. Eine Gerade durch den Punkt γ(t0) ist eine Kurventangente in diesem Punkt, wenn sie die gleiche Richtung wie der Tangentialvektor hat (d.h. ihr Richtungsvektor und der Tangentialvektor sind linear abhängig).
Sowohl für Funktionsgraphen als auch für Kurven in Parameterdarstellung gilt: Ist die Voraussetzung der Differenzierbarkeit nicht erfüllt, existiert auch keine Tangente. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Betragsfunktion 
, die an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist. Der zugehörige Funktionsgraph hat an dieser Stelle einen "Knick", sodass es hier sinnlos ist, von der Tangente zu sprechen. Möglicherweise existiert aber an einer solchen Knickstelle eine rechtsseitige und/oder eine linksseitige Ableitung; es kann also eine Rechts-Tangente und/oder eine Links-Tangente geben.
Siehe auch: Differentialrechnung, Kurvendiskussion, Tangentialraum
[Bearbeiten] Verkehrswesen
An den mathematischen Begriff der Tangente angelehnt, wird im Verkehrswesen eine Straße Tangentialstraße genannt, die einen Ort oder eine andere Straße wohl berührt, aber nicht hindurchführt. Ebenso werden Verkehrslinien (Bus-, Straßenbahnlinien), die Ortsteile miteinander verbinden aber ein Zentrum nicht bedienen, als Tangentiallinien bezeichnet.
Beispiel: tangentiales Straßensystem.
Siehe auch: Verkehrswegeplanung, Linie (Verkehr)
[Bearbeiten] Musik
Beim Clavichord werden die an der Verlängerung der Tasten sitzenden Metallplättchen, die beim Anschlag die Saiten berühren, als Tangenten bezeichnet.
Das Adjektiv tangential bezeichnet die Bezogenheit, die Referenzierung auf eine Tangente (Tangentenlinie).
