Steigung

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Dieser Artikel behandelt die Steigung in der Mathematik, zur Steigung von Verkehrswegen siehe Gradiente.

In der Mathematik, insbesondere in der Analysis, ist die Steigung (auch als Anstieg bezeichnet) ein Maß für die Steilheit einer Geraden oder einer Kurve.

Das Problem, die Steigung zu ermitteln, stellt sich dabei nicht nur bei geometrischen Fragestellungen, sondern beispielsweise auch in der Physik. So entspricht etwa die Geschwindigkeit der Steigung in einem Zeit-Weg-Diagramm oder die Stromstärke der Steigung in einem Zeit-Ladungs-Diagramm.

Inhaltsverzeichnis

1 Steigung einer Geraden
2 Steigungswinkel
3 Schnittwinkel
4 Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve
5 Siehe auch

[Bearbeiten] Steigung einer Geraden

Die Steigung einer Geraden wird häufig durch den Buchstaben m bezeichnet. Verwendet man kartesische Koordinaten, so hat die Gerade, die durch zwei Punkte $(x 1 | y 1)$ und $(x 2 | y 2)$ festgelegt ist, die Steigung

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$Δ x$ (sprich: Delta x) bedeutet dabei die Differenz der x-Werte, $Δ y$ entsprechend die Differenz der y-Werte.

Für die abgebildete Gerade durch die Punkte $(2 | 1)$ und $(7 | 3)$ ergibt sich beispielsweise die Steigung:

$m = \frac{3-1}{7-2} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Es spielt keine Rolle, von welchen Punkten der Geraden man die Koordinaten in die Formel einsetzt. Nimmt man zum Beispiel $( - 3 | - 1)$ und $(2 | 1)$ , so erhält man:

$m = \frac{1-(-1)}{2-(-3)} = \frac{2}{5} = 0{,}4$

Steigt die Gerade an (in positiver x-Richtung, also von links nach rechts betrachtet), so ist ihre Steigung positiv. Für eine fallende Gerade ist die Steigung negativ. Steigung 0 bedeutet, dass die Gerade waagrecht, also parallel zur x-Achse verläuft.

Hinweis: Die zur y-Achse parallelen Geraden sind keine Funktionsgraphen und haben deshalb auch keinen Steigungswert. Man kann ihnen die Steigung "Unendlich" (∞) zusprechen.

[Bearbeiten] Steigungswinkel

Aus der Steigung einer Geraden lässt sich der zugehörige Neigungswinkel (Steigungswinkel) bezogen auf die x-Achse berechnen:

Ein Zusammenhang aus der Trigonometrie besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Tangens von einem der beiden spitzen Winkel gleich dem Quotienten aus Gegenkathete und Ankathete ist. Damit ist klar, dass die Steigung der Tangens des Neigungswinkels gegenüber der positiven x-Achse ist:

$m \, = \, \tan \alpha$

Dann kann die Steigung in Prozent (%) angegeben werden. Zu beachten ist, dass Neigungswinkel und Steigung nicht zueinander proportional sind. Es ist also nicht möglich, Winkel und Steigungen mit einem Dreisatz umzurechnen! Beispielsweise entspricht die Steigung 1 (= 100 %) einem 45°-Winkel, die Steigung 2 (= 200 %) dagegen einem Winkel von knapp 64°. Für Neigungswinkel knapp unter 90°wächst die Steigung über alle Grenzen.

Um die Größe des Neigungswinkels herauszufinden, benötigt man die Umkehrfunktion der Tangens-Funktion, also die Arcustangens-Funktion:

$\alpha \, = \, \arctan m$

Im obigen Beispiel errechnet man:

$\alpha = \arctan 0{,}4 \approx 21{,}8^\circ$

[Bearbeiten] Schnittwinkel

Der Steigungsbegriff liefert auch eine bequeme Methode, den Schnittwinkel $ε$ zweier Geraden mit gegebenen Steigungen $m 1$ und $m 2$ zu bestimmen:

$\tan \epsilon = \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 \cdot m_2}$

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Steigungen übereinstimmen. Sie sind genau dann senkrecht zueinander, wenn ihre Steigungen die Bedingung $m_1 \cdot m_2 = -1$ erfüllen.

Die Steigung einer Geraden spielt auch im Straßenverkehr eine Rolle. Das Verkehrszeichen für die Steigung bzw. das Gefälle einer Straße basiert auf dem gleichen Steigungsbegriff. Allerdings wird die Prozent-Schreibweise verwendet. Eine Angabe von 12% Steigung bedeutet zum Beispiel, dass die Höhe pro 100 m in waagrechter Richtung um 12 m zunimmt. Nach der oben gegebenen mathematischen Definition hat man 12 m durch 100 m zu dividieren, was zum Ergebnis 0,12 führt (in Prozent-Schreibweise 12%).

[Bearbeiten] Verallgemeinerung: Steigung einer Kurve

Eines der grundlegenden Probleme der Analysis besteht darin, die Steigung einer Kurve in einem gegebenen Kurvenpunkt herauszufinden. Die oben besprochene Formel ist jetzt nicht mehr verwendbar, da ein Bruch nicht definiert ist, wenn sein Nenner gleich 0 ist.

Man definiert die Steigung des Graphen einer Funktion in einem Punkt des Graphen als Steigung der Kurventangente in diesem Punkt. Die Differentialrechnung liefert den Begriff der Ableitung als Hilfsmittel, um solche Steigungswerte ausrechnen zu können.

Beispiel: Für den Graphen der Funktion $f: \; x \mapsto 2x^2 - \frac{1}{2} x^3$ sollen die Steigung im Kurvenpunkt $(2 | 4)$ und der zugehörige Neigungswinkel berechnet werden.