Kranzprodukt

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Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Eigenschaften
- 2.1 Operationen
- 2.2 Gruppenerweiterungen
3 Beispiele
4 Quellen

[Bearbeiten] Definition

Sind G und J Gruppen und operiert J auf einer Menge Y, so wird dadurch eine Operation von J auf $G Y$ (der Gruppe aller Abbildungen von Y nach G mit punktweise Verknüpfung) induziert durch:

$\forall j\in J, f\in G^Y: (^jf)(y)=f(^{j^{-1}}y)$

Jedes $j\in J$ definiert auf diese Weise einen Automorphismus von $G Y$ .

Somit kann das Kranzprodukt $G \wr_Y J$ als das semidirekte Produkt aus $G Y$ und J bezüglich ebendieser Operation definiert werden.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: $\left|G \wr_Y J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot\left|J\right|$

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt $G \wr_J J$ definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge ${1,..., n}$ festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

[Bearbeiten] Operationen

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von $G \wr_Y J$ auf $X\times Y$ induziert:

$\forall (x,y)\in X\times Y, (f,j)\in G \wr_Y J: ^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^jy)}x,^jy)$

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

[Bearbeiten] Gruppenerweiterungen

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

$1\longrightarrow N \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota}\ \, H \longrightarrow^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi}\ \, Q \longrightarrow 1$

Außerdem sei eine Abbildung $q:G\to G$ gegeben, die $\forall g\in G:q(g)\iota(N)=g\iota(N)$ erfüllt. q ordnet also jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zu. (Ist N unendlich, so ist eine solchen Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung $\phi:H\hookrightarrow N\wr_Q Q$ (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

$\phi(h):=(\sigma_h,\pi(h))\,$

Hierbei ist $\sigma_h:Q\to H$ wie folgt definiert:

$\sigma_h(yN):=\iota^{-1}(q(h^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))$

Diese Einbettung geht zurück auf L.Kaloujnine und M.Krasner^[1].

[Bearbeiten] Beispiele

Die p-Sylowgruppen der Symmetrischen Gruppe $S n$ lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch $W p,0 : = {1}$ und $W_{p,n+1}:=W_{p,n} \wr_{\mathbb{Z}_p} \mathbb{Z}_p$ wobei die Operation von $J=\mathbb{Z}_p$ auf $Y=\mathbb{Z}_p$ durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d.h. als Summe $\sum_{i=0}^{k}{c_ip^i}$ mit $c_i\in\{0,...,p-1\}$ , so sind die p-Sylowgruppen von $S n$ dann isomorph zu $\prod_{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_i}}$