Semidirektes Produkt

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In der mathematischen Gruppentheorie beschreibt das semidirekte Produkt eine spezielle Art, eine neue Gruppe aus zwei gegebenen Gruppen zu konstruieren.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Anmerkung
2 Beispiele
3 Eigenschaften
- 3.1 Splitting-Lemma

[Bearbeiten] Definition

Gegeben seien zwei Gruppen N und H, sowie ein Homomorphismus $\phi:H\to \operatorname{Aut}(N)$ der Gruppe H in die Gruppe der (äußeren) Automorphismen von N.

Das kartesische Produkt $G=N\times H$ (d.h. die Menge aller Paare $(n,h): n \in N; h\in H$ ) der Mengen N und H wird dann zu einer Gruppe, indem man das Produkt durch

$(n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)=(n_1 \cdot \phi(h_1)(n_2),h_1\cdot h_2)$

definiert.

[Bearbeiten] Anmerkung

Diese Definition wird auch als äußeres semidirektes Produkt bezeichnet, da die Gruppe G bei dieser Definition konstruiert wird. Innere Definitionen beziehen sich dagegen auf eine bereits gegebene Gruppe G mit einem Normalteiler N und einer Untergruppe U.

[Bearbeiten] Beispiele

Wichtige Beispiele semidirekter Produkte sind

die euklidische Gruppe E(n), die das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen $N=\mathbb{R}^n$ und der Gruppe der Drehspiegelungen H=O(n) ist. Diese sind auch als Gruppe der Kongruenzabbildungen bekannt. Der Automorphismus φ ist dabei durch die natürliche Wirkung der Drehspiegelungen auf den dreidimensionalen Raum gegeben.
Im Fall n=2 (Ebene) sieht man an diesem Beispiel auch auf einfache Art, dass das semidirekte Produkt zweier abelschen Gruppen nicht abelsch sein muss: Man nehme nichttriviale Elemente $a\in \mathbb{R}^n; R \in O(n)$ und betrachte

$(a,\mathbf{1})\cdot(0,R)=(a,R)\neq (0,R)\cdot(a,\mathbf{1})=(R\cdot a,R).$

die Poincaré-Gruppe, die das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen $N=\mathbb{R}^{3+1}$ und der Gruppe der Lorentztransformationen H=O(3,1) ist. Der Automorphismus φ ist wiederum durch die natürliche Wirkung der Lorentz-Gruppe auf den vierdimensionalen Minkowski-Raum gegeben. Die Gruppe ist besonders wichtig für die spezielle Relativitätstheorie, wo sie als Invarianzgruppe auftaucht.