Gleichung fünften Grades
aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
 |
Dieser Artikel wurde auf den Seiten der Qualitätssicherung eingetragen. Hilf mit, ihn zu verbessern und beteilige dich an der Diskussion! |
Folgendes muss noch verbessert werden:
Im Vergleich zu den im Wesentlichen inhaltsgleichen Artikeln der englischen, französischen und spanischen Ausgabe ist dieser Artikel deutlich weniger fundiert.
Eine Gleichung fünften Grades oder Gleichung vom Grad 5 ist in der Mathematik eine Gleichung der Form
wobei a, b, c, d, e und f beliebige Zahlen sein können, a jedoch nicht Null (sonst wäre es eine Gleichung vierten Grades).
Eine Gleichung 5. Grades kann nur in Spezialfällen durch Wurzelausdrücke gelöst werden. Eine allgemeine Lösung durch Wurzeln ist nicht möglich (siehe Satz von Abel-Ruffini). Möglicherweise können aber Gleichungen 5. Grades mit Hilfe elliptischer Funktionen gelöst werden.
Mit Wurzeln gelöst werden können:
[Bearbeiten] Gleichungen der Form ax5 + f = 0
Vorgehensweise: Einfaches Umstellen nach x5 und dann die fünfte Wurzel ziehen
![x = \sqrt[5]{-f/a}](../../../math/9/9/5/995ceef1d1d7fb1d13f3fc5a4914d79d.png)
[Bearbeiten] Gleichungen der Form ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex = 0
Vorgehensweise: Ausklammern von x und Lösen der verbleibenden Gleichung vierten Grades.
[Bearbeiten] Symmetrische Gleichungen
Vorgehensweise: Die erste Lösung ist x = -1. Man kann also den zugehörigen Linearfaktor (x + 1) mittels Polynomdivision ausklammern:
Die restlichen vier Lösungen erhält man aus der (ebenfalls symmetrischen) biquadratischen Gleichung
die man durch Substitution von y = 1 + (1 / x) auf eine quadratische Gleichung der Form
bringen kann. Aus den Lösungen y1,y2 dieser Gleichung erhält man durch Rücksubstitution die Lösungen x1,x2,x3,x4.
Siehe auch: Lösen von Gleichungen
