Lösen von Gleichungen

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Du hast neue Nachrichten (Unterschied zur vorletzten Version).

Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf bitte mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Dies ist eine Übersicht zum Lösen von Gleichungen. Das Lösen von Gleichungssystemen wird in einem anderen Artikel behandelt, ebenso das Lösen von Differentialgleichungen.

Inhaltsverzeichnis

1 Umformung von Gleichungen
- 1.1 Erlaubte und eingeschränkt erlaubte Umformungen
2 Polynomgleichungen
3 Bruchgleichungen
4 Wurzelgleichungen
5 Numerisches Lösen
6 Grafische Verfahren
7 Siehe auch
8 Weblinks

[Bearbeiten] Umformung von Gleichungen

Gleichungen werden durch Äquivalenz-Umformungen gelöst, die den Wahrheitswert der Gleichung unverändert lassen (logische Äquivalenz). Dabei sind eine Reihe von Aktionen erlaubt, sofern sie auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens gleich ausgeführt werden. Man kann sich dies am Modell einer Waage vorstellen, die sich im Gleichgewicht befindet, und auf der die Größen einer Gleichung durch Gewichte repräsentiert werden (Das Modell hat freilich Grenzen und versagt z.B. bei negativen Zahlen). Äquivalenz-Umformungen entsprechen solchen Operationen, die die Waage nicht aus dem Gleichgewicht bringen. Das Bild zeigt am Beispiel der Gleichung

3 x + 1 = x + 7,

wie durch Äquivalenzumformungen die Gleichung in eine Form gebracht wird, in der schließlich x (die Unbekannte) auf einer Seite isoliert dasteht, wodurch die Lösung direkt ablesbar ist.

[Bearbeiten] Erlaubte und eingeschränkt erlaubte Umformungen

Erlaubte Äquivalenzumformungen sind daher:

Addition desselben Ausdrucks auf beiden Seiten

("+ 2" oder "+ 7·x" oder "+ 2·(x²-y²)" ...).

Subtraktion desselben Ausdrucks auf beiden Seiten

("- 2" oder "- 7·x" oder "- (x+y)·(x-y)" ...).

Multiplikation mit demselben Ausdruck (ungleich 0) auf beiden Seiten

("·2" oder "·7x" oder "·(x²+2x+1)" ...).

Division durch denselben Ausdruck (ungleich 0) auf beiden Seiten

("÷2" oder "÷7x" oder "÷2ab" ...).
Vertauschen beider Seiten.

Eingeschränkt möglich sind darüber hinaus:

Potenzieren beider Seiten mit dem selben positiven ganzzahligen Exponenten (z. B. Quadrieren).

Dies ist nur dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Exponent ungerade ist. Bei anderen Exponenten - wie beim Quadrieren - erhält man sogenannte Scheinlösungen, die durch eine Probe ausgeschlossen werden müssen.
Zum Beispiel ist die Gleichung x = -1 nicht äquivalent zur Gleichung x² = (-1)², denn die letztere Gleichung hat auch x = 1 als Lösung.
Potenzieren beider Seiten mit dem selben nicht-ganzzahligen Exponenten, z.B. Bilden der Quadratwurzel beider Seiten.

Dies gibt nur dann reelle Lösungen, wenn die Seiten der Gleichung positiv sind. Auch dies ist für gerade Wurzelexponenten keine Äquivalenzumformung, denn es gehen Lösungen verloren, wenn man nicht sowohl positive als auch negative Wurzeln in zwei getrennten Gleichungen berücksichtigt.
Zum Beispiel ist die Gleichung x² = a mit einem Ausdruck a äquivalent zum System (x = √a oder x = -√a).
Potenzieren beider Seiten mit demselben negativen Exponenten, z.B. Bilden des Kehrwerts beider Seiten.

Dies geht nur, wenn die Seiten der Gleichung nicht den Wert Null haben. Bei Verwendung anderer Exponenten als -1 treten dieselben Hindernisse wie bei positiven Exponenten auf.

[Bearbeiten] Polynomgleichungen

[Bearbeiten] Gleichungen vom Grad 1

Lineare Gleichungen werden gemäß obigen Grundregeln so lange behandelt, bis auf der linken Seite die Unbekannte steht und rechts eine Zahl bzw. ein entsprechender Ausdruck. Lineare Gleichungen der Normalform

ax + b = 0 mit a ≠ 0

haben stets genau eine Lösung. Sie lautet x = - b / a.

Eine Gleichung kann aber auch unlösbar sein. So gibt es keine Zahl, die die Gleichung x = x + 1 löst, weil es keine Zahl gibt, die gleich groß wie ihr Nachfolger ist. Formal entstünde durch beidseitige Subtraktion von x die falsche Aussage 0 = 1.

Verhältnisgleichungen wie etwa $\frac{1}{x} = \frac{2}{5}$ lassen sich durch Kehrwertbildung in eine lineare Gleichung überführen.

[Bearbeiten] Gleichungen vom Grad 2

Das Lösen von quadratischen Gleichungen ist ausführlich unter Quadratische Ergänzung beschrieben. Die Normalform der quadratischen Gleichung lautet

ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0

deren Lösungen man mit der Mitternachtsformel berechnen kann. Wenn man die Gleichung durch a dividiert, erhält man die normierte Form

x² + px + q = 0

deren Lösungen man mit der pq-Formel berechnen kann.

Eine quadratrische Gleichung hat stets zwei Lösungen, die entweder beide reell oder beide komplex sind. Daher lernen Schüler, dass es auch quadratische Gleichungen "ohne Lösung" geben kann.

Auch hier gibt es Gleichungen, die zunächst einen Term x² enthalten, der aber beim Umformen verschwindet, so dass u.U. eine falsche Aussage stehenbleibt. Solche Gleichungen sind unlösbar.

[Bearbeiten] Gleichungen vom Grad 3

Auch für das Lösen von kubischen Gleichungen gibt es eine formale Lösung, die in der Fachliteratur (z.B. Bronstein:Taschenbuch der Mathematik) nachzulesen ist. Sie kommt allerdings nicht mehr ohne komplexe Zahlen aus.

Kubische Gleichungen in der Normalform

ax³ + bx² + cx + d = 0 mit a ≠ 0

haben drei Lösungen, von denen mindestens eine reell ist. Die beiden weiteren Lösungen sind beide reell oder beide komplex. Lösungsformel: siehe kubische Gleichung.

[Bearbeiten] Gleichungen vom Grad 4

Biquadratische Gleichungen in der Normalform

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0 mit a ≠ 0

haben vier Lösungen, die stets paarweise reell oder komplex sind. Lösungsformel: siehe biquadratische Gleichung.

Auch für biquadratische Gleichungen lässt sich noch eine Lösungsformel (siehe dort) angeben. Häufig wird in älteren Fachbüchern (aus der Zeit des Rechenschiebers) darauf hingewiesen, dass die Lösungsformeln recht kompliziert seien und sich im Alltag eine numerische Lösung empfehle. Dies kann nach gegenwärtigem Stand der Computertechnik aber als überholt gelten. Tatsächlich leiden die Formeln zur geschlossenen Lösung einer Gleichung vierten Grades nur unter (beherrschbaren) Rundungsfehlerproblemen, bieten dafür aber konstante Rechenzeiten.

Iterationen haben dagegen die üblichen (nicht behebbaren) Probleme bei mehrfachen oder dicht beieinanderliegenden Nullstellen, der Zeitbedarf ist schwer vorherzusehen und die Programmierung der Abbruchbedingung ist auch nicht trivial.

[Bearbeiten] Gleichungen höheren Grades

Eine allgemeine Lösungsformel für Gleichungen höheren Grades (n > 4) gibt es nicht (ein Resultat der Galoistheorie), lediglich spezielle Gleichungen lassen sich lösen, z.B.:

Polynome n-ten Grades mit symmetrischen Koeffizienten lassen sich auf Polynome vom Grad n/2 zurückführen. Bei ungeradem n ist 1 oder -1 eine Nullstelle, die zunächst durch Polynomdivision entfernt wird.
Polynome, in der nur ungerade oder nur gerade Potenzen der Variablen auftreten, lassen sich ebenfalls auf Polynome n/2 Grades zurückführen, bei ungeraden Potenzen ist 0 eine Lösung.

Allerdings soll es möglich sein, Gleichung 5. Grades mit Hilfe elliptischer Funktionen allgemein zu lösen. Dies würde nicht im Widerspruch zur Galoistheorie stehen, da elliptische Funktionen keine Radikale sind.

Gleichungen höheren Grades (Grad 5, ...) werden in der Regel nur numerisch gelöst, außer eine Lösung lässt sich erraten. Hat man eine Lösung gefunden, kann der Grad der Gleichung durch Polynomdivision um 1 verringert werden.

Gleichungen vom Grad n haben n Lösungen. Dabei ist jede Lösung entsprechend ihrer Vielfachheit zu zählen (Fundamentalsatz der Algebra).

Aus dem Fundamentalsatz der Algebra ergeben sich für Polynomgleichungen, sofern sie ausschließlich reelle Koeffizienten besitzen, folgende Regeln:

... bei geradem Grad gibt es eine gerade Anzahl reeller Lösungen

(z.B. hat eine Gleichung 6. Grades entweder 0, 2, 4 oder 6 reelle Lösungen).

... bei ungeradem Grad gibt es eine ungerade Anzahl reeller Lösungen

(z.B. hat eine Gleichung 7. Grades entweder 1, 3, 5 oder 7 reelle Lösungen).

... die Anzahl komplexer Lösungen ist immer gerade, da diese nur paarweise auftreten können

(als konjugiert komplexe Zahlen, z.B. 3 + 4i und 3 - 4i).

Insbesondere folgt daraus:

... jede Gleichung ungeraden Grades hat mindestens eine reelle Lösung

(z.B. lineare und kubische Gleichungen)

... eine Gleichung geraden Grades hat möglicherweise keine reelle Lösung

(z.B. hat die quadratische Gleichung x^2 = -1 nur die komplexen Lösungen +i und -i).

[Bearbeiten] Bruchgleichungen

Wenn eine Gleichung einen oder mehrere Bruchterme enthält und die Unbekannte zumindest im Nenner eines Bruchterms vorkommt, handelt es sich um eine Bruchgleichung. Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner kann man solche Bruchgleichungen auf einfachere Gleichungstypen zurückführen.

[Bearbeiten] Wurzelgleichungen

Tritt die Variable x unter einer Wurzel auf, spricht man von einer Wurzelgleichung. Solche Gleichungen löst man, indem man eine Wurzel isoliert (allein auf eine Seite bringt) und dann mit dem Wurzelexponenten potenziert. Das wiederholt man, bis alle Wurzeln eliminiert sind. Die entstehende Gleichung löst man wie oben. Schließlich muss man noch beachten, dass durch das Potenzieren möglicherweise Scheinlösungen hinzugekommen sind, die nicht Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind. Deshalb ist hier eine Probe unverzichtbar.

[Bearbeiten] Numerisches Lösen

Ein einfaches numerisches Verfahren zur Lösung reeller Gleichungen ist die Intervallschachtelung. Ein Spezialfall davon ist die Regula Falsi.

Bedingt einsetzbar, dafür schneller ist das Newtonsche Näherungsverfahren.

[Bearbeiten] Grafische Verfahren

Grafische Verfahren können im Rahmen der Zeichengenauigkeit (0,2 mm) Anhaltspunkte über Anzahl und Lage der Lösungen geben.

Liegt die Gleichung in ihrer Normalform vor, lässt sich die linke Seite als Funktion auffassen, deren Graph nach einer Wertetafel mit hinreichender Genauigkeit zu zeichnen ist. Die Nullstellen (d. h. Schnittpunkte mit der x-Achse) sind dann die Lösungen.
Andernfalls sind die Funktionen, die der rechten und der linken Seite der Gleichung entsprechen, zusammen in ein Achsenkreuz zu zeichnen. Die x-Werte der Schnittpunkte geben die Lösung an. Quadratische Gleichungen werden so umgeformt, dass der quadratische Term nur links vom Gleichheitszeichen und mit dem Vorfaktor 1 zu stehen kommt. Dann kann man mittels Schablone die Einheitsparabel zeichnen und mit der aus der rechten Seite hervorgehenden Geraden zum Schnitt bringen. Dies ist rechts exemplarisch für die Gleichung x² = 0,5x + 0,5 gezeigt, deren Lösungen -0,5 und +1 sind.