Lògica

De Viquipèdia

En general, la lògica és l'estudi dels sistemes de raonament, és a dir, de sistemes de raonament que un ésser intel·ligent podria utilitzar per raonar. La lògica serviria per dir quines formes d'inferència son vàlides i quines no. Tradicionalment, s'estudia com a branca de la filosofia, però també és podria considerar una branca de la matemàtica o de la informàtica.

[edita] Història

La lògica, en el sentit més general d'aquesta paraula, es remunta al segle IV aC, quan Aristòtil la posa com a base del seu sistema filosòfic, per ser una matèria indispensable per qualsevol altre ciència. Encara que tal com va ser concebuda pel savi grec era bastant rígida, i de poc abast, amb tot va restar inalterada fins el segle XIX, encara que Leibnitz (1646 - 1716) li donà un cert impuls, dins una postura conservadora, va ser Boole (nat el 2 de novembre de 1815 a Lincoln, Lincolnshire, Anglaterra-mort el 8 de desembre de 1864 a Ballintemple, County Cork, Irlanda), amb alguns altres, començaren a relacionar-la directament amb la matemàtica. La lògica, tal com s'entén avui, va sorgir dels treballs de Frege (nat el 8 de novembre de 1848 a Wismar, Mecklenburg-Schwerin (actualment Alemanya)-mort el 26 de juliol de 1925 a Bad Kleinen, Alemanya) i Peano (nat el 27 d'agost de 1858 a Cuneo, Piemonte, Itàlia - mort el 20 d'abril de 1932 a Turin, Italia). Aquests treballs es veren com la culminació del procés de formalització de la matemàtica, començada per Isaac Newton i Leibnitz, creadors del càlcul infinitesimal, que després desenvoluparien Cauchy (nat el 21 d'agost de 1789 a París, França – mort el 23 de maig de 1857 a Sceaux, aprop de París), i Gauss (nat el 30 d'abril de 1777 a Brunswick, Ducat de Brunswick, actualment Alemanya – mort el 23 de febrer de 1855 a Göttingen, Hanover, avui Alemanya), entre d'altres que cada vegada abastava conceptes més generals i abstractes. Dedekind (nat el 6 d'octubre de 1831 a Braunschweig, Ducat de Braunschweig, avui Alemanya – mort el 12 de febrer de 1916 a Braunschweig), Riemann (nat el 17 de setembre de 1826 a Breselenz, Hanover, avui Alemanya – mort el 20 de juliol de 1866 a Selasca, Itàlia), Weierstrass (nat el 31 d'octubre de 1815 a Ostenfeide, Westphalia, actual Alemanya – mort el 19 de febrer de 1897 a Berlín, Alemanya) sistematitzaren la matemàtica fins el punt de deixar-la construïda essencialment a partir dels nombres naturals, i sobre les propietats fonamentals dels conjunts. L'obra de Frege i Peano havia de ser la culminació d'aquest procés: provaren de donar regles precises per determinar completament la labor del matemàtic, explicitant tant els punts de partida com els mètodes per deduir nous resultats.Si només hagués estat així la lògica seguiria essent una curiositat reservada als matemàtics amb inclinacions filosòfiques, però a finals del segle XIX Georg Cantor creà i desenvolupà la part més general i abstracta de la matemàtica moderna: la teoria de conjunts. No va passar molt de temps sens que el propi Cantor, i d'altres, descobrissen contradiccions a la teoria de conjunts. L'exemple més simple fou descobert per Bertrand Russell: segons la teoria de Cantor es pot parlar de qualsevol conjunt de objectes si s'especifiquen els seus elements sens ambigüitat. Per tant podem considerar el conjunt R, els elements del qual son exactament aquells conjunts que no son elements de ells mateixos. Per tant si R és un element de ell mateix, per definició, no podria ser-ho, i viceversa. Resulta que R no pot pertànyer a ell mateix com a element ni no fer-ho. Tot això contradiu la lògica més elemental. Es podria pensar que això no és més que una ximpleria, però el que passa és que contradiccions similars afecten a conjunts no tan artificials i recercats com el conjunt R. La primera mostra de la importància de la lògica fou un fracàs estrepitós. Frege havia creat un sistema que pretenia regular qualsevol raonament matemàtic. Russell observà que la paradoxa esmentada podia ser provada seguint el sistema de Frege, així com qualsevol afirmació, la qual cosa tornava aquestes regles totalment inútils. Amb el temps sorgiren substituts als treballs de Frege. El primer va ser els Principia Mathematica de Whitehead (nat el 15 de febrer de 1861 a Ramsgate, Isla de Thanet, Kent, Anglaterra – mort el 30 de desembre de 1947 a Cambridge, Massachusetts, Estats Units)i Russell, de gran complexitat lògica. Després vendrien les teories de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF), i de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Amdues permeten deduir tots els teoremes matemàtics a partir dels seus principis bàsics (axiomes), sens que, fins ara, s'hagi trobat cap contradicció.

[edita] Raonament deductiu i inductiu

Originalment la lògica només comprenia el raonament deductiu que és allò que s'inferix de unes premisses dades. Sigui com sigui és important fer notar que el raonament inductiu-l'estudi i derivació de generalitzacions a partir de les observacions-ha estat a vegades inclòs en l'estudi de la lògica. Igualment, hem de diferenciar entre validesa deductiva i validesa inductiva. La noció de validesa deductiva pot ser establerta rigorosament per sistemes de Lògica formal en idees de termes ben entesos de semàntica. La validesa inductiva, per altra costat, ens exigeix definir una generalització exacte de algun conjunt d'observacions. La tasca de proporcionar aquesta definició pot ser abordada per diferents camins, alguns més formals que altres; algunes d'aquestes definicions poden usar models matemàtics de probabilitat.

[edita] Lògica formal i informal

Una mica arbitràriament, l'estudi de la lògica és divideix en lògica formal i informal. La lògica formal (a vegades anomenada lògica simbòlica) s'apropa a la lògica, i en particular, al debat lògic com a un conjunt de regles manipulació de símbols. Hi ha dues classes de regles en qualsevol sistema de lògica formal: Les regles sintaxi lògica i les regles d'inferència.