直言三段论

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直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。

例子:

所有生命都有价值。

即使谋杀犯也是个生物。

所以，即使谋杀犯也有价值。

前两个命题叫做前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上: 中项在前提中必须周延(distribute)至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。一个项是周延的，如果它是一个全称命题的主词或否定命题的谓词。

注意，直言三段论可以是有效的，但结论仍可能是假，如果有前提为假的话。上面的三段论是有效的，但是有人可能不同意这个结论，因为他不同意某个或两个前提。以直言三段论形式明确的说出你的推理的最大价值，就是标识出那种连接导致你得到结论，或者导致某人反对这个结论。接着你可以更加清晰的理解你的想法或你的不同意见，并看出某些更基本的信念可能是错的或者比你所意识到的更加重要。

[编辑] 语气和格

直言三段论的语气是依据数量和性质对它的命题做的排列(参见直言命题)。

命题可以是全称的(universal)或特称的(particular)，并且可以是肯定的或否定的。所以有四种命题:

A 型: 全称肯定的 ("所有 S 都是 P")
I 型: 特称肯定的 ("有些 S 是 P")
E 型: 全称否定的 ("没有 S 是 P")
O 型: 特称否定的 ("有些 S 不是 P")

在下列这个三段论中:

所有 M 都是 P

所有 S 都是 M

所以, 所有 S 都是 P

语气是 AAA，依据是所有的命题都是全称肯定的。

下面要讨论的直言三段论的格。为了领会格，你必须能够识别三种不同类型的项: 大项、小项和中项。作为结论中的谓词出现的项是大项。在上述三段论中的 P 是大项。小项是作为结论中的主词出现的项；S 是小项。最后，通过排除法，可以演绎出中项是没有出现在结论中的项，但是在每个前提中都出现一次。因此，M 是中项。大项所在的前提叫大前提，小项所在的前提叫小前提。直言三段论的格可以通过识别中项的四种可能排列得知。格被数字表示为 1-4

1 中项占据大前提的主词和小前提的谓词
2 中项占据大前提和小前提二者的谓词
3 中项占据大前提和小前提二者的主词
4 中项占据大前提的谓词和小前提的主词

第1格	第2格	第3格	第4格
M-P	P-M	M-P	P-M
S-M	S-M	M-S	M-S
S-P	S-P	S-P	S-P

四个格之间存在相互转换的关系：

第 1 格：被认为是完美的而不需转换。
第 2 格：对换大前提的前后两项的位置就变成第 1 格，对换小前提的前后两项的位置就变成第 4 格。
第 3 格：对换大前提的前后两项的位置就变成第 4 格，对换小前提的前后两项的位置就变成第 1 格。
第 4 格：对换大前提的前后两项的位置就变成第 3 格，对换小前提的前后两项的位置就变成第 2 格。

E 和 I 命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A 命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成与弱于原命题的 I 命题。O 命题不能对换前后两项的位置。

上述直言三段论的正确的语气和格是 AAA-1。语气和格的组合叫做形式。

[编辑] 有效性

考虑各种直言三段论的有效性是非常冗长的。幸运的是，人们已经这么做了，并想出了三个可供选择的方法来找出有效性。其一是记住下一章节中列出各种形式。

你可以通过其他方法得到余下的有效形式。一种方法是构造一个文氏图。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆来表示每一个类。首先，为大项构造一个圆。临近大项的圆的是交叠着的小项的圆。在这两个圆之下是中项的圆。它应当在三个位置有着交叠: 大项，小项和大项与小项交叠的地方。这个三段论是有效的，必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加阴影来实现的。所以在前面例子的 AAA-1 形式中大前提 "所有 M 是 P" 中，对 M 不与 P 交叠的所有区域加阴影，包括 M 与 S 交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中我们推导出在类 S 中所有成员也是类 P 的成员。但是，我们不能推出类 P 的所有成员都是类 S 的成员。

作为这种方法的另一个例子，考虑形式 EIO-1 的三段论。它的大前提是 "没有 M 是 P"，它的小前提是 "有些 S 是 M"，它的结论是 "有些 S 不是 P." 这个三段论的大项是 P; 它的小项是 S，它的中项是 M。大前提在图中通过对交集 M ∩ P 加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加阴影表示。转而，我们可以在交集 S ∩ M 的非阴影部分使用 ∃ (存在) 符号来表示 "有些 S 是 M." (N.B. 阴影区域和存在量化区域是互斥的)。接着因为存在符号位于 S 内但在 P 外，所以结论 "存在一些 S 不是 P" 是正确的。

最后一种方法是记住下面非形式表述的六个规则。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用下列规则来检验有效性:

直言三段论必须包含严格的三个项，不多不少(cp. 四项谬论)。
如果某一前提是否定的，则结论必须是否定的(cp. 从否定前提得到肯定结论)。
两个前提不能都是否定的(cp. 排它前提谬论)。
在结论中周延的任何项必须在任何一个前提中周延。(cp. 违法大项，违法小项)。
中项必须周延一次且只是一次(cp. 不周延中项谬论)。
不能从两个全称前提中得到特称结论(cp. 存在性谬论)。

[编辑] 三段论式列表

总共有十九个有效的论式(不包括结论弱化的五个论式)，论式的拉丁语名字是中世纪学者起的，详情请参见传统逻辑，附加给出了相应的谓词演算公式。

第 1 格	第 2 格	第 3 格	第 4 格
Barbara	Cesare	Darapti	Bramantip
Celarent	Camestres	Disamis	Camenes
Darii	Festino	Datisi	Dimaris
Ferio	Baroco	Felapton	Fesapo
		Bocardo	Fresison
		Ferison

[编辑] 经典三段论式

下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前三个格的十四个三段论式。

[编辑] 第 1 格

AAA (Barbara)

所有 M 是 P.
所有 S 是 M.
∴ 所有 S 是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \land \forall x (S(x) \rightarrow M(x)) \vdash \forall x (S(x) \rightarrow P(x))$

EAE (Celarent)

没有 M 是 P.
所有 S 是 M.
∴ 没有 S 是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \forall x (S(x) \rightarrow M(x)) \vdash \forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))$

AII (Darii)

所有 M 是 P.
有些 S 是 M.
∴ 有些 S 是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \land \exists x (S(x) \land M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land P(x))$

EIO (Ferio)

没有 M 是 P.
有些 S 是 M.
∴ 有些 S 不是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x (S(x) \land M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

[编辑] 第 2 格

EAE (Cesare)

没有 P 是 M.
所有 S 是 M.
∴ 没有 S 是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \forall x (S(x) \rightarrow M(x)) \vdash \forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))$

AEE (Camestres)

所有 P 是 M.
没有 S 是 M.
∴ 没有 S 是 P.

$\forall x ( \lnot M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \forall x (S(x) \rightarrow \lnot M(x)) \vdash \forall x (S(x) \rightarrow \lnot P(x))$

EIO (Festino)

没有 P 是 M.
有些 S 是 M.
∴ 某些 S 不是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x (S(x) \land M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

AOO (Baroco)

所有 P 是 M.
某些 S 不是 M.
∴ 某些 S 不是 P.

$\forall x (\lnot M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x (S(x) \land \lnot M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

[编辑] 第 3 格

AAI (Darapti)

所有 M 是 P.
所有 M 是 S.
∴ 有些 S 是 P.
(这种形式需要假定某些 M 确实存在。)

$\forall x (M(x) \rightarrow S(x)) \land \exists x M(x) \vdash \exist x (S(x) \land M(x))$
$\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \land \exists x (S(x) \land M(x)) \vdash \exist x (S(x) \land P(x))$

IAI (Disamis)

有些 M 是 P.
所有 M 是 S.
∴ 有些 S 是 P.

$\exist x (P(x) \land M(x)) \land \forall (M(x) \rightarrow S(x)) \vdash \exists x (S(x) \land P(x))$

AII (Datisi)

所有 M 是 P.
有些 M 是 S.
∴ 有些 S 是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow P(x)) \land \exist x (S(x) \land M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land P(x))$

EAO (Felapton)

没有 M 是 P.
所有 M 是 S.
∴ 有些 S 不是 P.
(这种形式需要假定某些 M 确实存在。)

$\forall x (M(x) \rightarrow S(x)) \land \exists x M(x) \vdash \exist x (S(x) \land M(x))$
$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exist x (S(x) \land M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

OAO (Bocardo)

某些 M 不是 P.
所有 M 是 S.
∴ 某些 S 不是 P.

$\exist x (M(x) \land \lnot P(x)) \land \forall (M(x) \rightarrow S(x)) \vdash \exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

EIO (Ferison)

没有 M 是 P.
有些 M 是 S.
∴ 某些 S 不是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exist x (S(x) \land M(x)) \vdash \exists x (S(x) \land \lnot P(x))$

[编辑] 中世纪增补的论式

[编辑] 第 4 格

AAI (Bramantip)

所有 P 是 M.
所有 M 是 S.
∴ 有些 S 是 P.
(这种形式需要假定某些 P 确实存在)

$\forall x (P(x) \rightarrow M(x)) \land \exists x P(x) \vdash \exists x (P(x) \land M(x))$
$\exists x (P(x) \land M(x)) \land \forall x (M(x) \rightarrow \ S(x)) \vdash \exists x(S(x) \land P(x))$

AEE (Camenes)

所有 P 是 M.
没有 M 是 S.
∴ 没有 S 是 P.

$\forall x ( P(x) \rightarrow M(x)) \land \forall x (M(x) \rightarrow \lnot S(x)) \vdash \forall x (P(x) \rightarrow \lnot S(x))$

IAI (Dimaris)

有些 P 是 M.
所有 M 是 S.
∴ 有些 S 是 P.

$\exists x ( P(x) \land M(x)) \land \forall x (M(x) \rightarrow \ S(x)) \vdash \exists x (S(x) \and P(x))$

EAO (Fesapo)

没有 P 是 M.
所有 M 是 S.
∴ 有些 S 不是 P.
(这种形式需要假定某些 M 确实存在)

$\forall x (M(x) \rightarrow S(x)) \land \exists x M(x) \vdash \exists x (M(x) \land S(x))$
$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x (M(x) \land S(x)) \vdash \exists x ( S(x) \and \lnot P(x))$

EIO (Fresison)

没有 P 是 M.
有些 M 是 S.
∴ 有些 S 不是 P.

$\forall x (M(x) \rightarrow \lnot P(x)) \land \exists x (M(x) \land S(x)) \vdash \exists x ( S(x) \and \lnot P(x))$

[编辑] 结论弱化的论式

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论 A 为 I，结论 E 为 O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的有效论式。它们是： AAI-1 (弱化的 AAA-1)，EAO-1 (弱化的 EAE-1)，EAO-2 (弱化的 EAE-2)，AEO-2 (弱化的 AEE-2)，AEO-4 (弱化的 AEE-4)。

[编辑] 对附加的谓词演算公式的注解

按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合(类) S 和集合 M 有某种二元关系，并且集合 P 和集合 M 有某种二元关系，从而推论出集合 S 和集合 P 是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：

A (全称肯定)命题：所有 X 是 Y，确定了 X “包含于” Y 的关系，X 是 Y 的子集，Y 是 X 的超集，这是一种偏序关系。
E (全称否定)命题：所有 X 不是 Y，确定了 X 和 Y 是“无交集”的关系，这是一种对称的二元关系，所有 X 不是 Y 同于所有 Y 不是 X。(X 与 Y 无交集，Y 与 Z 无交集，不能推出 X 与 Z 无交集)。
I (特称肯定)命题：有些 X 是 Y，确定了 X 和 Y 是“有交集”的关系，这是一种对称的二元关系，有些 X 是 Y 同于有些 Y 是 X。(X 与 Y 有交集，Y 与 Z 有交集，不能推出 X 与 Z 有交集)。
O (特称否定)命题：有些 X 不是 Y，确定了 X “不包含于” Y 的关系。(从 X 不包含于 Y 不能推出 X 包含 Y)。

将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：

A 命题：所有 X 是 Y，它允许两个推理方向，从肯定的 X 推出肯定的 Y，从否定的 Y 推出否定的 X。
E 命题：所有 X 不是 Y，它允许两个推理方向，从肯定的 X 推出否定的 Y，从肯定的 Y 推出否定的 X。
I 命题：有些 X 是 Y，它确定了有些个体存在于 X 与 Y 的交集中。
O 命题：有些 X 不是 Y，它确定了有些个体存在于 X-Y 的差集中。

两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A 命题可以和所有四种命题一起工作。E 命题还可以和 I 命题一起工作。两个 E 命题无法推理。E 命题和 O 命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一。

首要的是推出新规则的推理。AA 组合推出 A，其中只有 AAA-1 是合理的，它推论出 S 到 P 的关系；第 4 格的 AA 组合推论出 P 到 S 的关系，这不是四种命题之一，所以只能在 P 确实有元素存在的前提下，弱化为 AAI-4。AE(EA) 组合推出 E，其中 EAE-1, EAE-2, AEE-2, AEE-4 是合理的。

其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。有的论式中的 A 命题是被弱化为 I 命题来使用的，所以也是推出存在事实的论式；这种论式的正确性以某个集合确实有元素存在为前提，被后人认为不是直言的(直言的意思就是无条件)，这个问题被称为存在性引入问题。

[编辑] 参见

[编辑] 外部链接

Categorical syllogisms by the p.l.e Introduction to Logic.
The Figures of the Syllogism is a brief table listing the forms of the syllogism.

传统逻辑：三段論

其他：对立四边形 | 布尔三段论 | 三段论谬论

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