集合代数
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集合代数发展并描述了集合的基本性质和规律，集合论运算，如并集、交集、补集，以及集合的关系，如等于、包含。这门学科系统研究如何来表达和进行上述的运算和关系的操作。
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[编辑] 导言
集合代数是研究集合运算和集合关系的基本性质的学科。研究这些性质可以深入探究集合的本质，也有助于实际应用。
像普通算术的表达和计算一样，集合的表达和计算可能相当复杂。通过系统研究将有助于熟练使用和理解这些表达方式并进行计算。
在算术研究方面，是通过初等代数来研究算术的运算和关系的。
例如：加法和乘法运算遵循人们熟知的交换律、结合律和分配律；而"小于等于"关系满足自反性、反对称性和传递性。 这些规律提供了简化计算的工具，并描述了算术的本质、运算和关系。
集合代数相当于集合论中的算术代数。它是关于集合论运算如交集、并集、补集，和集合论关系如等于、包含等的代数：本文主要介绍这些内容。对集合的基本介绍请参见集合，更详尽的内容请参见朴素集合论。
[编辑] 集合代数的基本规律
集合的二元运算并集和交集满足许多恒等式。有些恒等式或"规律"有确定的名称。三组规律不加证明地罗列如下：
命题 1：对任意集合 A，B，C，下列恒等式成立：
- 交换律：
-
- A ∪B = B ∪A
- A ∩B = B ∩A
-
- 结合律：
-
- (A ∪B) ∪C = A ∪(B ∪C)
- (A ∩B) ∩C = A ∩(B ∩C)
-
- 分配律：
-
- A ∪(B ∩C) = (A ∪B) ∩(A ∪C)
- A ∩(B ∪C) = (A ∩B) ∪(A ∩C)
-
注意并集和交集同算术加法和乘法的相似性是非常明显的。同加法和乘法一样，并集和交集也是满足交换律和结合律的，而且，交集对并集满足分配律；但是，并集对交集也满足分配律，这同加法和乘法不一样。
下一个命题包含三种特殊集合：空集、全集、集合的补集，给出关于它们的两组规律。
命题 2：对全集 U 的任意子集 A，下列恒等式成立：
- 同一性：
-
- A ∪Ø = A
- A ∩U = A
-
- 补集律：
-
- A ∪AC = U
- A ∩AC = Ø
-
同一性（结合交换律）说明，就像 0 和 1 对于加法和乘法，Ø 和 U 是并集和交集的单位元。
同加法和乘法不同，并集和交集没有逆元。然而，补集律给出了类似逆运算的一元运算，集合的补集的基本性质。
上述五组性质：交换律、结合律、分配律、同一性和补集律，可以说包含了集合代数的所有内容，可以认为集合代数中所有正确的命题都是从它们得到的。
[编辑] 对偶性原理
上述命题有一个有趣的形式，就是每一组恒等式都是成对出现的。将 ∪ 和 ∩，或者 Ø 和 U 相互交换，一个恒等式就变成了相应的另一个。
这是集合代数的一个非常重要的性质，称作集合的对偶性原理。它对集合的所有真命题都有效。真命题通过相互交换 ∪ 和 ∩，Ø 和 U，改变包含符号的方向得到的对偶命题也是真的。若一个命题和其对偶命题相同，则称其为自对偶的。
[编辑] 更多关于并集和交集的定律
下列命题给出六条关于并集和交集的重要定律。
命题 3：对任意全集 U 的子集 A 和 B，下列恒等式成立：
- 幂等律：
-
- A ∪A = A
- A ∩A = A
-
- 支配律：
-
- A ∪U = U
- A ∩Ø = Ø
-
- 吸收律：
-
- A ∪(A ∩B) = A
- A ∩(A ∪B) = A
-
如前所述，命题 3 里的每条定律都可以从命题 1 和命题 2 的五组基本定律推导出来。作为说明，下面给出并集的幂等律的证明。
证明：
| A ∪A | = (A ∪A) ∩U | 交集的同一律 | |
| = (A ∪A) ∩(A ∪AC) | 并集的补集律 | ||
| = A ∪(A ∩AC) | 并集对交集的分配律 | ||
| = A ∪Ø | 交集的补集律 | ||
| = A | 并集的同一律 |
下列证明说明，上述证明的对偶是对并集的幂等律的对偶，即交集的幂等律的证明。
证明：
| A ∩A | = (A ∩A) ∪Ø | 并集的同一律 | |
| = (A∩A) ∪(A ∩AC) | 交集的补集律 | ||
| = A ∩(A ∪AC) | 交集对并集的分配律 | ||
| = A ∩U | 并集的补集律 | ||
| = A | 交集的同一律 |
[编辑] 更多关于补集的定律
下列命题给出五条关于补集的重要定律。
命题 4：设 A 和 B 为全集 U 的子集，则：
- 德·摩根律：
-
- (A ∪B)C = AC ∩BC
- (A ∩B)C = AC ∪BC
-
- 重补集或对合律：
-
- ACC = A
-
- 全集和空集的补集律：
-
- ØC = U
- UC = Ø
-
注意，重补集律是自对偶的。
下一个命题也是自对偶的，说明集合的补集是唯一满足补集律的集合。也就是说，互补的特征通过补集律体现。
命题 5：设 A 和 B 为全集 U 的子集，则：
- 补集的唯一性：
-
- 若 A ∪B = U 且 A ∩B = Ø 则 B = AC。
-
[编辑] 包含的代数
下列命题说明包含是种偏序关系。
命题 6：若 A，B，C 为集合，则下述成立：
- 自反性：
-
- A ⊆ A
-
- 反对称性:
-
- A ⊆ B 且 B ⊆ A，当且仅当 A = B
-
- 传递性:
-
- 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C
-
下列命题说明对任意集合 S，S 的幂集按照包含来排列是个有界格；因此，结合上述的分配律和补集律，它是一个布尔代数。
命题 7：若 A，B，C 是集合 S 的子集，则下述成立：
- 存在并运算:
-
- A ⊆ A ∪B
- 若 A ⊆ C 且 B ⊆ C 则 A ∪B ⊆ C
-
- 存在交运算:
-
- A ∩B ⊆ A
- 若 C ⊆ A 且 C ⊆ B 则 C ⊆ A ∩B
-
下列命题说明，"A ⊆ B " 与各种采用并集、交集、补集的表示方法等价。
命题 8：对任意两个集合 A 和 B，下述等价：
-
- A ⊆ B
- A ∩B = A
- A ∪B = B
- A − B = Ø
- BC ⊆ AC
上述命题说明，集合的包含关系可以采用并集运算或交集运算来表示，即包含关系在公理体系中是多余的。
[编辑] 相对补集的代数
下列命题给出一些关于相对补集或集合论差的恒等式。
命题 9：对任意全集 U 和 U 的子集 A，B，C，下列恒等式成立：
-
- C − (A ∩B) = (C − A) ∪(C − B)
- C − (A ∪B) = (C − A) ∩(C − B)
- C − (B − A) = (A ∩C) ∪(C − B)
- (B − A) ∩C = (B ∩C) − A = B ∩(C − A)
- (B − A) ∪C = (B ∪C) − (A − C)
- A − A = Ø
- Ø − A = Ø
- A − Ø = A
- B − A = AC ∩B
- (B − A)C = A ∪BC
- U − A = AC
- A − U = Ø
