Convoluzione

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Nota disambigua - Se stai cercando la convoluzione tra funzioni aritmetiche, vedi Convoluzione di Dirichlet.

In matematica la convoluzione è un'operazione tra funzioni, viene utilizzata in vari campi della fisica, dell'elettronica, dell'analisi d'immagini e della grafica, soprattutto per operazioni di filtraggio nei sistemi lineari tempo-invarianti (in questo caso l'OUT è dato dalla convoluzione tra il segnale IN e la risposta all'impulso del sistema).

[modifica] Definizione

Si considerino due funzioni $f(t),g(t): \R \to \R$ . Si definisce convoluzione l'operazione definita nel seguente modo: $f(t)*g(t):=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t-\tau) d\tau= \int_{-\infty}^{\infty} f(t-\tau)g(\tau) d\tau$ .

L'ultimo passaggio si può dimostrare con semplici calcoli: si consideri $(t - τ) = τ'$ , operando la sostituzione nella prima formula si ottiene la seconda ritornando a chiamare $τ'$ con il nome di $τ$ .

Per funzioni discrete, si può usare la versione discreta della convoluzione:

$(f * g)(m) = \sum_n {f(n) g(m - n)} \,$

[modifica] Proprietà

La convoluzione soddisfa le seguenti proprietà:

[modifica] Associatività per moltiplicazione per scalare

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

per ogni numero reale (o complesso) $a$ .

[modifica] Regola di differenziazione

$\mathcal{D}(f * g) = \mathcal{D}f * g = f * \mathcal{D}g \,$

dove con $\mathcal{D}f$ si è denotata la derivata di $f$ o, nel caso discreto, l'operatore differenziale $\mathcal{D}f(n) = f(n+1) - f(n)$ .

[modifica] Teorema della convoluzione

Il teorema della convoluzione afferma che

$\mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g)$

dove F(f) indica la trasformata di Fourier di f. Altre versioni di questo teorema funzionano per la trasformata di Laplace, trasformata di Laplace bilatera e la trasformata di Mellin.