三角恒等式

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三角恒等式三角学的重要基础，可分为非条件恒等式和条件恒等式两类。条件恒等式多在三角形中

。

[编辑] 非条件恒等式

[编辑] 基本关系

倒数关系
- $\sin \theta \cdot \csc \theta=1$
- $\cos \theta \cdot \sec \theta=1$
- $\tan \theta \cdot \cot \theta=1$
平方关系
- $sin 2 θ + cos 2 θ = 1$
- $sec 2 θ - tan 2 θ = 1$
- $csc 2 θ - cot 2 θ = 1$
商数关系
- $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta$
- $\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\cot \theta$

[编辑] 倍角/半角公式

二倍角公式
- $sin2θ = 2sinθcosθ$
- $cos2θ = cos 2 θ - sin 2 θ = 2cos 2 θ - 1 = 1 - 2sin 2 θ$
- $\tan2 \theta=\frac{2\tan \theta}{1-\tan^2 \theta}$
三倍角公式
- $sin3θ = 3sinθ - 4sin 3 θ$
- $cos3θ = 4cos 3 θ - 3cosθ$
- $\tan3 \theta=\frac{3\tan \theta-\tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}$
半角公式
- $\sin \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}}$
- $\cos \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}}$
- $\tan \frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}}=\frac{1-cos\theta}{\sin \theta}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}$
万能公式
- $\sin \theta=\frac{2\tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac{\theta}{2}}$
- $\cos \theta=\frac{1-\tan^2 \frac{\theta}{2}}{1+\tan^2 \frac{\theta}{2}}$
- $\tan \theta=\frac{2\tan \frac{\theta}{2}}{1-tan^2 \frac{\theta}{2}}$
两角和与差
- $\sin(\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
- $\cos(\alpha \pm \beta)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
- $\tan{\left(\alpha \pm \beta\right)}= \frac{\tan{\alpha} \pm \tan{\beta}}{1 \mp \tan{\alpha}\tan{\beta}}$
- $a\sin \theta+b\cos \theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi),\tan \varphi=\frac{b} {a}$
积化和差
- $\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\left[ \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta) \right]$
- $\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}\left[ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta) \right]$
- $\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\left[ \cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta) \right]$
- $\sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}\left[ \cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta) \right]$
和差化积
- $\sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$
- $\sin \alpha-\sin \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$
- $\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$
- $\cos \alpha-\cos \beta=-2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$