三角函数

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三角函数在数学中属于初等函数裡的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数表現出周期性，所以它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

它有六种基本函数：

函数名	正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
符号	sin	cos	tan (也作tg)	cot (也作ctg)	sec	csc

[编辑] 历史

历史上还用过下面两个函数:

正矢 $\textrm{versin}(\theta) = 1 - \cos (\theta) = 2 \sin^2\left(\frac{\theta} {2}\right) \,$
余矢 $\textrm{coversin}(\theta) = \textrm{versin}(\pi/2 - \theta) = 1 - \sin(\theta) \,$

[编辑] 定义

[编辑] 坐标系中

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角， $P\left( {x,y} \right)$ 是角的终边上一点， $r = \sqrt {x^2 + y^2 }>0$ 是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：

函数名	定义	函数名	定义
正弦	$\sin \alpha = \frac{y}{r}$	-{zh-cn:余;zh-tw:餘}-弦	$\cos \alpha = \frac{x}{r}$
正切	$\tan \alpha = \frac{y}{x}$	-{zh-cn:余;zh-tw:餘}-切	$\cot \alpha = \frac{x}{y}$
正割	$\sec \alpha = \frac{r}{x}$	-{zh-cn:余;zh-tw:餘}-割	$\csc \alpha = \frac{r}{y}$

[编辑] 直角三角形中

在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。

一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中， $sin A$ = 对边/斜边 = a/h。

一个锐角的餘弦是它的邻边与斜边的比值。在图中， $cos A$ = 邻边/斜边 = b/h。

一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中， $tan A$ = 对边/邻边 = a/b。

[编辑] 三角函数的初等性质

[编辑] 三角恒等式

三角函数的特殊性质使得它们之间存在许多恒等式。

[编辑] 同角三角函数间

利用三角函数的定义，可以得到以下恒等式：

倒数关系：

$\sin \alpha \cdot \csc \alpha = 1$

$\cos \alpha \cdot \sec \alpha = 1$

$\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$

因为有了倒数关系，一般只使用sin、cos、tan三个函数。

平方关系：

sin 2 α + cos 2 α = 1

sec 2 α - tan 2 α = 1

csc 2 α - cot 2 α = 1

比值关系：

$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}$

$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}$

这一组关系将切与弦联系到了一起。

[编辑] 诱导公式

[编辑] 较为高级的公式

这些公式不能直接通过三角函数的定义得到，是三角函数中比较重要的公式。

[编辑] 两个角的和与差

这一组公式，将关于两个角的和与差的三角函数转化成分别关于这两个角的三角函数式。这三个公式是以下所有较为高级公式的基础。

$C_{\alpha \pm \beta }$ ：

$\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

一般来说，这个公式是以下两个公式的基础，总是先通过单位圆得到这个公式。

$S_{\alpha \pm \beta }$ ：

$\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

这个公式可以简单由上面公式转换得到。也有人在三角形中先证明这个公式的锐角版本，然后通过诱导公式得到完整版本，再得到上面的公式。

$T_{\alpha \pm \beta }$ ：

$\tan \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \frac{{\tan \alpha \pm \tan \beta }}{{1 \mp \tan \alpha \tan \beta }}$

这个公式是由以上两个公式利用比值关系得到的。

[编辑] 强大的公式

由两个角的和与差的公式，可以得到下面这个强大的公式：

$a\sin \alpha \pm b\cos \alpha = \sqrt {a^2 + b^2 } \sin \left( {\alpha \pm \arctan \frac{b}{a}} \right) \qquad \left( {a > 0,b > 0} \right)$

[编辑] 倍角公式

倍角的三角函数可以通过两个角的和与差公式得到。

二倍角公式：

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos 2 α - sin 2 α = 2cos 2 α - 1 = 1 - 2sin 2 α

三倍角公式：

sin3α = 3sinα - 4sin 3 α

cos3α = 4cos 3 α - 3cosα

$\tan 3\alpha = \frac{{3\tan ^3 \alpha - \tan \alpha }}{{1 - 3\tan ^2 \alpha }}$

[编辑] -{半角}-公式

这一组公式可以由二倍角公式变形得到。

$\sin \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{2}}$

$\cos \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos \alpha }}{2}}$

$\tan \frac{\alpha }{2} = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\sin \alpha }}{{1 + \cos \alpha }}$

[编辑] 以切表弦公式/萬能公式

这一组公式有三个功能：

将角统一为 $\frac{\alpha }{2}$ ；
将函数名称统一为 $tan$ ；
任意实数都可以表示为 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 的形式，可以用正切函数换元。

因此，这组公式被称为以切表弦公式，简称以切表弦。它们是由二倍角公式变形得到的。

$\sin \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

$\cos \alpha = \frac{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}{{1 + \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

$\tan \alpha = \frac{{2\tan \frac{\alpha }{2}}}{{1 - \tan ^2 \frac{\alpha }{2}}}$

而被称为萬能公式的原因是利用 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 的代換可以解決一些有關三角函数的積分。

[编辑] 积与和差

下面一组公式，将正弦、余弦函数的积转化为它们的和与差，称为积化和差公式。这一组公式是由和与差的三角函数公式相加减得到的。

$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} ( \sin ( \alpha + \beta ) + \sin ( \alpha - \beta ) )$

$\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} ( \sin ( \alpha + \beta ) - \sin ( \alpha - \beta ) )$

$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} ( \cos ( \alpha + \beta ) + \cos ( \alpha - \beta ) )$

$\sin \alpha \sin \beta = - \frac{1}{2} ( \cos ( \alpha + \beta ) - \cos ( \alpha - \beta ) )$

下面一组公式，将正弦、余弦函数的和与差转化成它们的积，称为和差化积公式。令

$\left\{ \begin{matrix} \theta = \alpha + \beta \\ \varphi = \alpha - \beta \\ \end{matrix} \right.$

可以得到：

$\sin \theta + \sin \varphi = 2\sin \frac{{\theta + \varphi }}{2}\cos \frac{{\theta - \varphi }}{2}$

$\sin \theta - \sin \varphi = 2\cos \frac{{\theta + \varphi }}{2}\sin \frac{{\theta - \varphi }}{2}$

$\cos \theta + \cos \varphi = 2\cos \frac{{\theta + \varphi }}{2}\cos \frac{{\theta - \varphi }}{2}$

$\cos \theta - \cos \varphi = - 2\sin \frac{{\theta + \varphi }}{2}\sin \frac{{\theta - \varphi }}{2}$

[编辑] 三角函数的特殊值

三角函数中有一些常用的特殊函数值。

函數名	$0$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{5\pi}{12}$
sin	$0$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
cos	$1$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
tan	$0$	$2-\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$
cot	$\mp \infty$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2-\sqrt{3}$
sec
csc

或者……（當然須要另外約簡。）

函數╲角度	$0^\circ$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$	$90^\circ$
sin	$\frac{\sqrt{0}}{2} = 0$	$\frac{\sqrt{1}}{2} = {1 \over 2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$
cos	$\frac{\sqrt{4}}{2} = 1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{1}}{2} = {1 \over 2}$	$\frac{\sqrt{0}}{2} = 0$
tan	$\frac{\sqrt{0}}{\sqrt{4}} = 0$	$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = {1 \over \sqrt{3}}$	$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$	$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1}} = \sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{0}} = \infty$