Hệ phương trình tuyến tính

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học (cụ thể là trong đại số tuyến tính), một hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp n các phương trình tuyến tính với k biến số:

$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,k}x_k = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,k}x_k = b_2 \\ \vdots \\ a_{n,1}x_{1}+a_{n,2}x_{2}+...+a_{n,k}x_k = b_n \end{matrix}\right.$

Hệ phương trình trên có thể được viết theo dạng phương trình ma trận:

Ax=b

Với A là ma trận chứa các hệ số a_i,j (a_i,j là phần tử ở hàng thứ i, cột thứ j của A); x là vector chứa các biến x_j; b là vector chứa các hằng số b_i. Tức là:

$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,k} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_k \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}$

Nếu các biến số của hệ phương trình tuyến tính nằm trong các trường đại số vô hạn (ví dụ số thực hay số phức), thì chỉ có ba trường hợp xảy ra:

hệ không có nghiệm (vô nghiệm)
hệ có duy nhất một nghiệm
hệ có vô số nghiệm

Hệ phương trình tuyến tính có thể thấy trong nhiều ứng dụng trong khoa học.

Mục lục

1 Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quát
2 Các trường hợp đặc biêt
3 Các phương pháp giải
4 Xem thêm

[sửa] Điều kiện có nghiệm trong trường hợp tổng quát

Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A' .

$A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,k} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,k} \end{bmatrix}$ ; $A'=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,k} &b_1 \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,k}&b_2 \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,k}&b_n \end{bmatrix}$

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

r a n (A) = r a n (A') = r

Chi tiết hơn ta có:

Nếu $r = r a n (A) < r a n (A')$ thì hệ vô nghiệm
Nếu ran(A) = ran(A') = r hệ có nghiệm và
1. Nếu $r a n (A) = r a n (A') = r = k$ hệ có nghiệm duy nhất
2. Nếu $r a n (A) = r a n (A') = r < k$ hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn tự do.

(không xảy ra trường hợp $r = r a n (A) > r a n (A')$ hay $r = r a n (A) > n$ )

Ví dụ:
- Hệ

$\left\{\begin{matrix} x&+&y&=&2\\ x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&-2\\ \end{matrix}\right.$ có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{matrix} x&=&1\\y&=&1\\\end{matrix}\right.$ ;

- Hệ

$\left\{\begin{matrix} x&+&y&+&2z&=&3\\\;&\;&y&-&z&=&5\\\end{matrix}\right.$

có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z:

$\left\{\begin{matrix} x=&-2&-3.z\\ y=&5&+z\\ z \in &\mathbb R \\ \end{matrix}\right.$

- Hệ

$\left\{\begin{matrix} x&+&y&=&2\\ x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&3\\ \end{matrix}\right.$

vô nghiệm.

[sửa] Các trường hợp đặc biêt

Nếu k bằng n, và ma trận A là khả nghịch (hay định thức của ma trận A khác không) thì hệ có nghiệm duy nhất:

x = A^-1 b

với A^-1 là ma trận nghịch đảo của A.

Nếu b=0 (mọi b_i bằng 0), hệ được gọi là hệ thuần nhất. Tập tất cả các nghiệm của một hệ phương trình thuần nhất lập thành một không gian vecter con của $\mathbb R^n$ gọi là hạt nhân của ma trận A, viết là Ker(A).(Cũng là hạt nhân của phép biến đổi tuyến tính xác định bởi ma trận A). Nếu hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có k=n và ma trận A khả nghịch thì nó có nghiệm duy nhất là nghiệm không.

[sửa] Các phương pháp giải

Dưới đây liệt kê vài phương pháp tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính:

Phép khử Gauss
Phép phân rã Cholesky
Phép đệ quy Levinson
Phép đệ quy Schur
Phép phân rã giá trị dị thường

[sửa] Xem thêm

Phương trình tuyến tính
Hệ phương trình
Phương trình ma trận
Ma trận nghịch đảo

Các chủ đề chính trong đại số tuyến tính
Định thức \| Độc lập tuyến tính \| Hệ phương trình tuyến tính \| Lý thuyết Lie \| Ma trận \| Nền tảng đại số tuyển tính \| Vĩnh thức

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê