Потужність множини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

ПОТУЖНІСТЬ МНОЖИНИ - в теорії множин узагальнення поняття кількості елементів множини. Потужність множини A позначається як |A| або #A та позначається кардинальним числом (або кардиналом).

Зміст

1 Потужність скінченних множин
2 Потужність нескінченних множин
3 Порівняння потужностей
4 Дивись також

[ред.] Потужність скінченних множин

Для множин зі скінченною кількістю елементів, потужність множини є фактично кількістю елементів цієї множини. Інакше можна сказати, що множина A є скінченною, якщо існує таке натуральне число n, що A ~ {k, k ∈ N∧ k ≤ n}. В іншому випадку, множина називається нескінченною.

Між двома скінченними множинами A і B існує взаємно однозначна відповідність тоді і тільки тоді, коли їхні потужності співпадають, тобто |A|=|B|.

Нехай A = {a₁,a₂,...,a_n} - скінченна множина з n елементів (|A|=n), тоді кількість усіх підмножин множини A дорівнює 2ⁿ, тобто 2^|A|.

Множину всіх підмножин деякої множини A (скінченної або нескінченної) часто позначають через β(A) (або B(A) чи 2^|A|) і називають булеаном множини A. Очевидно, що для скінченної множини A виконується |B(A)|= 2^|A|.

[ред.] Потужність нескінченних множин

В загальному випадку, справедливому і для нескінченних множин, множини A та B є рівнопотужні, або мають однакову потужність, якщо можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами цих множин, тобто якщо існує бієкція f:A→B. Рівнопотужні множини позначаються як A ~ B.

Відношення рівнопотужності є рефлексивним, симетричним та транзитивним, тобто є відношенням еквівалентності.

Для нескінченних множин потужність множини може співпадати з потужністю її власної підмножини.

Приклади:

Множина натуральних чисел N рівнопотужна множині S={1,4,9,16,...}, яка складається з квадратів натуральних чисел. Необхідна бієкція відповідність встановлюється за законом (n,n²), n∈N, n²∈S.

Множина Z всіх цілих чисел рівнопотужна множині P всіх парних чисел. Тут взаємно однозначна відповідність встановлюється таким чином: (n,2n), n∈Z, 2n∈P.

[ред.] Числа алеф

Потужність множини натуральних чисел N позначається символом $\aleph_0$ (алеф-нуль). Наступні кардинальні числа в порядку зростання позначають $\aleph_1, \aleph_2,\dots$ .

[ред.] Зліченність та скінченність множин

Множина A називається зліченною, або зліченно-нескінченною, якщо |A| ~ |N|. В цьому випадку кажуть, що елементи такої множини можна занумерувати. Зліченними є множини цілих Z, натуральних N та раціональних Q чисел.

Множина, яка є скінченна, або зліченна, називається не більш ніж зліченно.

Нескінченна підмножина зліченної множини є зліченна. Також нескінченна множина містить зліченну підмножину.

Для незліченних множин, їхня потужність $\ge \aleph_0$ . Тобто, зліченна множина в певному розумінні є "найменшою" з нескінченних множин. Незліченними є множини дійсних R та комплексних C чисел.

[ред.] Потужність контінуума

Про множини, рівнопотужні множині дійсних чисел [або дійсних чисел з інтервалу (0, 1)] кажуть, що вони мають потужність континуума, і потужність таких множин позначається символом c. Континуум-гіпотеза стверджує, що с= $\aleph_1$ .

[ред.] Порівняння потужностей

Докладніше про це див. в статті Кардинальне число

Потужності множин можна порівнювати. Тобто можливі три випадки:

|A|=|B| або A та B рівнопотужні;
|A|>|B|або A потужніше B, тобто A містить власну підмножину, рівнопотужну B, але A и B не рівнопотужні;
|A|<|B| або B потужніше A, в цьому випадку B містить власну підмножину, рівнопотужну А, але А та B не рівнопотужні.

Ситуація, в якій $A$ та $B$ не рівнопотужні, і в жодному з них немає частини, рівнопотужній іншій множині, в теорії множин неможлива. Над кардинальними числами можна проводити арифметичні операції. Докладніше дивись Арифметика кардиналів