Парадокс Рассела
Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Парадо́кс Ра́ссела - парадокс, сформульований на початку XX століття відомим британським логіком Бертраном Расселом, який демонструє недосконалість та суперечливість наївної теорії множин.
Парадокс Рассела формулюється наступним чином:
Нехай K - множина всіх множин, які не містять себе в якості свого елемента. Чи містить K само себе в якості елемента? Якщо так, то, за визначенням K, воно не повинно бути елементом K - протиріччя. Якщо ні, то, за визначенням K, воно повинно бути елементом K - знову протиріччя.
Цей парадокс можна проілюструвати на прикладі. А саме, припустимо, що у селі Х мешкає лише один цирульник, який має право голити лише тих мешканців села, кожен з яких сам не здатен поголитися. З такого припущення випливає, що цирюльник голить сам себе лише тоді, коли він належить до множини тих, хто сам поголитись не здатен.
Протиріччя расселівського парадоксу виникає тому, що в міркуваннях застосовується "наївне" поняття множини всіх множин. Існування такої множини забороняється в аксіоматичних теоріях множин. Доведення несумісності існування множини всіх множин з аксіомами теорії множин по суті є повторенням того міркування, яке складає парадокс Рассела. А саме, припустимо, що множина U всіх множин існує. Виокремимо серед елементів U ті й тільки ті, які не містять себе в якості елемента. З аксіоми виділення випливає, що отримана сукупність - теж множина. Далі питання, чи містить ця нова множина себе в якості елемента, призводить до протиріччя, яке доводить неможливість існування U
