Ознака подільності чисел

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Ознака подільності на натуральне число $d$ — умова, якій відповідає натуральне число $A$ тоді й тільки тоді, коло воно без остачі ділиться на $d$ .

Зміст

1 Ознаки подільності чисел
2 Таблиця подільності

[ред.] Ознаки подільності чисел

Цій статті слід надати енциклопедичного стилю, і, при потребі, відформатувати, використовуючи мову розмітки Вікі.
Ви можете допомогти проекту, зробивши це!

[ред.] на 2

Ознака
На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число перший розряд якого парний (0, 2, 4, 6, 8) (наприклад: 58/2=29, 1004/2=502).

Доведення
Будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти числа. Нехай |a|=b₁+10b₂, де b₁ - перший розряд a, b₂ - число, що складається з решти розрядів a. Якщо подідити a на 2, то вираз b₁+10b₂ можна розписати, як b₁/2+10b₂/2, або b₁/2+5b₂. Таким чином, b₁ має націло ділитись на 2. Так як воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п'яти наступних чисел: 0, 2, 4, 6, 8.

[ред.] на 3

Ознака
Число ділиться на 3 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 3. (наприклад: 333/3 = 111, 81 / 3 = 27).

Доведення
Аналогічне доведенню для ознаки подільності на 9.

[ред.] на 4

Ознака
Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, якщо число, утворене його двома останніми цифрами ділиться на 4. (наприклад: 128/4 = 32, 1004 / 4 = 251).

Доведення
Діємо аналогічно випадку для подільності на 2. Представимо число N у вигляді A*100 + B. Оскільки 100 ділиться на 4, то число N ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 4. Але саме B і є числом, утвореним двома останніми цифрами числа N.

[ред.] на 5

Ознака
На 5 ділиться будь-яке ціле число, перший розряд якого дорівнює 5 або 10 (наприклад: 65/5=13, 783910/5=156782)

Доведення
Нехай a=b₁+10b₂, де b₁ - перший розряд a, а b₂ - число, що складається з решти розрядів числа a. Якщо a поділити на 5, то вираз b₁+10b₂ можна переписати так: b₁/5+10b₂/5, або так b₁/5+2b₂. Таким чином b₁ має націло ділитися на 5. Так як b₁ натуральне та лежить в межах від 0 до 9, то воно може набирати одне з двох значень: 0 або 5.

[ред.] на 6

Ознака
Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, воно ділиться на 2 та на 3.

[ред.] на 8

Ознака
Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 4. (наприклад: 128/8 = 16, 1800 / 8 = 225).

Доведення
Діємо аналогічно випадку для подільності на 4. Представимо число N у вигляді A*1000 + B. Оскільки 1000 ділиться на 8, то число N ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 8. Але саме B і є числом, утвореним трьома останніми цифрами числа N.

[ред.] на 9

Ознака
Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 9. (наприклад: 333/9 = 37, 111111111 / 9 = 12345679).

Доведення
Будь-яке число А можна представити у вигляді А = a₀*10^k + a₁*10^{k - 1} + ... + a₁*10¹ + a_k*10⁰, де a₀, a₁, .., a_k - цифри числа А з найбільш значущої до найменш значущої (розряду одиниць). Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами:

(x₀ + x₁ + ... + x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) + (x₁ mod Y) + ... + (x_k mod Y)) mod Y.
Аналогічне співвідношення виконується і для множення:
(x₀ * x₁ * ... * x_k) mod Y = ((x₀ mod Y) * (x₁ mod Y) * ... * (x_k mod Y)) mod Y.
Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, ...) дають у залишку 1 при діленні на 9. Отже:

А mod 9 = (a₀*10^k + a₁*10^{k - 1} + ... + a₁*10¹ + a_k*10⁰) mod 9 = (((a₀*10^k) mod 9) + ((a₁*10^{k - 1}) mod 9) + ... + ((a₁*10¹) mod 9) + ((a_k*10⁰) mod 9)) mod 9 = (a₀ + a₁ + ... + a_{k - 1} + a_k) mod 9,

що і необхідно було довести.

[ред.] на 10

Ознака
Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, якщо остання його цифра - 0. (наприклад: 370/10 = 37, 1111111110 / 10 = 111111111).

Доведення Оскільки кожне число N = A * 10 + B, де B - його остання цифра, то N ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 10. Оскільки B - цифра від 0 до 9, то для того, щоб ділитись на 10, B має бути нулем.

[ред.] Таблиця подільності

Дільник	Умова Подільності	Приклади
2	Остання цифра є парною (0, 2, 4, 6, або 8).	1,294: 4 є парне.
3	Сума цифр повинна ділитися на 3.	405: 4 + 0 + 5 = 9. 9 ділиться на 3.
4	Якщо число, утворене двома останніми цифрами ділиться на 4.	2,092: 92 ділиться на 4.
5	Остання цифра або 5 або 0.	490: остання цифра 0.
6	Якщо число ділиться і на 2, і на 3.	24: число ділиться на 2 і на 3.
7	Число розбивається на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число ділиться на 7, якщо різниця суми блоків, що стоять на парних місцях, і суми блоків, що стоять на непарних місцях, ділиться на 7.	2,911,272: − (2 + 272) + 911 = 637. 637 ділиться на 7.
	Якщо сума подвоєного числа без останніх двох цифр і останніх двох цифр ділиться на 7.	364: (3x2) + 64 = 70. 70 ділиться на 7.
	Якщо сума числа без останньої цифри і останньої цифри, помноженої на 5, ділиться на 7.	364: 36 + (5×4) = 56. 56 ділиться на 7.
	Різниця між числом без останньої цифри і подвоєної останньої цифри повинна ділитись на 7.	364: 36 − (2×4) = 28. 28 ділиться на 7.
8	Якщо число, утворене останніми трьома цифрами, ділиться на 8.	5,128: 128 ділиться на 8.
	Якщо число сотень є парне, то число, утворене двома останніми цифрами повинне ділитись на 8.	624: 6 - парне, 24 ділиться на 8.
	Якщо число сотень є непарним, то до числа, утворенного двома останніми цифрами, потрібно додати 4. Таке число повинне ділитись на 8.	352: 52+4 = 56. 56 ділиться на 8.
9	Сума всіх цифр повинна ділитись на 9.	2,880: 2 + 8 + 8 + 0 = 18. 18 ділиться на 9.
10	Остання цифра 0.	130: остання цифра 0.
11	Число розбивається на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Сума блоків повинна ділитись на 11.	627: 6 + 27 = 33. 33 ділиться на 11.
	Якщо різниця між числом без останньої цифри і останньою цифрою ділиться на 11.	627: 62 - 7 = 55. 55 ділиться на 11.
	Якщо сума цифр, що стоять на парних місцях відрізняється від суми цифр, що стоять на непарних місцях, на число, що кратне 11.	182,919: − (1 + 2 + 1) + (8 + 9 + 9) = 22.
12	Якщо число ділиться на 3 і на 4.	324: воно ділиться і на 3, і на 4.
12	Число без останньої цифри множать на два і віднімають останню цифру. Таке число повинне ділитись на 12.	324: (32x2) − 4 = 60. 60 ділиться на 12.
13	Число ділиться на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сумуються блоки, що стоять на парних і непарних місцях. Різниця цих сум повинна ділитись на 13.	2,911,272: − (2 + 272) + 911 = 637. 637 ділиться на 13.
	До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 4. Утворене число повинне ділитись на 13.	338: 33 + (8×4) = 65. 65 ділиться на 13.
	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 9. Утворене число повинне ділитись на 13.	637: 63 − (7×9) = 0. 0 ділиться на 13.
14	Якщо число ділиться на 2 і на 7.	224: воно ділиться на і на 2, і на 7.
14	Число без останніх двох цифр множать на 2. До результату додають число, утворене двома останніми двома цифрами. Сума повинна ділитись на 14.	364: (3x2) + 64 = 70.
15	Якщо число ділиться на 3 і на 5.	390: число ділиться на 3 і на 5.
16	Якщо число тисяч є парним, то перевіряють число, складене з останніх трьох цифр.	254,176: 176 ділиться на 16.
	Якщо число тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми трьома цифрами, додають 8.	3,408: 408+8 = 416. 416 ділиться на 16.
	Число без останніх двох цифр множать на 4 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 16.	176: (1x4) + 76 = 80. 80 ділиться на 16.
17	Число без останніх двох цифр множать на 2 і додають число, утворене останніми двома цифрами. Результат повинен ділитись на 17.	187: − (1x2) + 87 = 85. 85 ділиться на 17.
17	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 5. Результат повинен ділитись на 17.	85: − 8 + (5×5) = 17.
18	Якщо число ділиться на 2 і на 9.	342: воно ділиться і на 2, і на 9.
19	До числа без останньої цифри додають подвоєну останню цифру. Результат повинен ділитись на 19.	437: 43 + (7x2) = 57. 57 ділиться на 19.
20	Якщо число ділиться на 10 і число десятків є парне.	360: число ділиться на 10 і 6 є парним.
20	Якщо число, утворенне двома останніми цифрами ділиться на 20.	480: 80 ділиться на 20.
25	Якщо число, складене з двох останніх цифр, ділиться на 25.	134,250: 50 ділиться на 25.
26	Якщо число ділиться на 13 і є парним.	2,911,272: число ділиться на 13 і є парним.
27	Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Сума утворених блоків повинна ділитись на 27.	2,644,272: 2 + 644 + 272 = 918. 918 ділиться на 27.
27	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 8.	621: 62 − (1×8) = 54. 54 ділиться на 27.
32	Якщо число десятків тисяч є парним, то перевіряють на подільність число, утворене останніми чотирма цифрами.	41,312: 1312 ділиться на 32.
	Якщо число десятків тисяч є непарним, то до числа, утвореного останніми чотирма цифрами, додають 16.	254,176: 4176+16 = 4192. 4192 ділиться на 32.
	Число без останніх двох цифр множать на 4 і до результату додають останні дві цифри. Суму перевіряють на подільність на 32.	1,312: (13x4) + 12 = 64. 64 ділиться на 32.
33	Якщо число ділиться на 11 і на 3.	1,003,002: число ділиться на 11 і на 3.
33	Число ділять на блоки по дві цифри, починаючи з кінця. Утворені блоками числа сумують. Результат повинен ділитись на 33.	627: 6 + 27 = 33.
37	Число ділять на блоки по три цифри, починаючи з кінця. Число, утворені блоками сумують. Сума повинна ділитись на 37.	2,651,272: 2 + 651 + 272 = 925. 925 ділиться на 37.
37	Від числа без останньої цифри віднімають останню цифру, помножену на 11. Результат повинен ділитися на 37.	925: 92 − (5x11) = 37.
49	До числа без останньої цифри додають останню цифру, помножену на 5. Таке число повинне ділитись на 49.	1,127: 112 + (7×5) = 147. 147 ділиться на 49.