กฎผลหาร

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

หัวข้อที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัส

อนุพันธ์

กฎผลคูณ | กฎผลหาร | กฎลูกโซ่ | อนุพันธ์โดยปริยาย | ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์

ปริพันธ์

ใน แคลคูลัส กฎผลหาร คือวิธีการหาอนุพันธ์ ของ ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นผลหาร ของอีกสองฟังก์ชัน ซึ่งหาอนุพันธ์ได้

ถ้าฟังก์ชันที่เราต้องการหาอนุพันธ์ f(x) สามารถเขียนในรูป

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$

และ h(x) ≠ 0; ดังนั้น กฎนี้กล่าวว่า อนุพันธ์ของ g(x) / h(x) เท่ากับ ตัวส่วน คูณกับ อนุพันธ์ของ ตัวเศษ ลบกับ ตัวเศษ คูณกับอนุพันธ์ของ ตัวส่วน ทั้งหมดหารด้วยกำลังสองของตัวส่วน ดังนี้

$f'(x)=\frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.$

หรือโดยละเอียดกว่านี้แล้ว สำหรับ x ใดๆ ในเซตเปิด ที่มีจำนวน a และ h(a) ≠ 0 และทั้ง g '(a) และ h '(a) หาค่าได้ ดังนั้น f '(a) จะหาค่าได้ดังนี้

$f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}$

สารบัญ

1 ตัวอย่าง
2 บทพิสูจน์
- 2.1 จากผลหารผลต่างของนิวตัน
- 2.2 จากกฎผลคูณ
3 ดูเพิ่ม

[แก้] ตัวอย่าง

อนุพันธ์ของ $(4 x - 2) / (x 2 + 1)$ คือ:

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$	$=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
	$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

อนุพันธ์ของ $sin(x) / x 2$ (เมื่อ $x$ ≠ 0) คือ:

$\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}$

[แก้] บทพิสูจน์

[แก้] จากผลหารผลต่างของนิวตัน

สมมุติให้

f (x) = g (x) / h (x)

โดยที่

h (x)

≠ 0 และ

g

และ

h

เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)$

$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}$

$= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}$