Cantors sats
Wikipedia
Cantors sats (efter Georg Cantor) är en sats inom mängdteorin som innebär att det inte finns någon gräns för hur stora kardinaltal man kan bilda: Om man bildar potensmängden av en mängd (ändlig eller oändlig), så får man alltid en ännu större mängd. Att potensmängden till en mängd alltid är en mängd är innebörden i potensmängdsaxiomet.
Satsen lyder: α < 2α för alla kardinaltal α.
En annan formulering av samma sak är |α| < |P(α)| för alla mängder α. Här står P(α) för potensmängden av α (dvs mängden av alla delmängder till α) och |α| betyder kardinaliteten för α (dvs antalet element i α). Ett annat sätt att formulera satsen i ord är att säga att varje mängd har fler delmängder än den har element.
Alef-0 är kardinaliteten för de naturliga talen, den minsta oändliga mängden. Enligt Cantors sats är 2Alef-0 alltså en större oändlighet. 2Alef-0 är kardinaliteten för de reella talen. Enligt kontinuumhypotesen är 2Alef-0 = Alef-1, dvs 2Alef-0 är den kardinalitet som följer närmast efter Alef-0 i storleksordning. I vanlig mängdteori, ZFC, kan man dock inte bevisa att kontinuumhypotesen är vare sig sann eller falsk, det är ett s k oavgörbart påstående.
