Zasadnicze twierdzenie algebry
Z Wikipedii
Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że dowolny wielomian stopnia n nad ciałem liczb zespolonych ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (każdy pierwiastek liczymy tyle razy, ile wynosi jego krotność).
Jest to równoważne stwierdzeniu, że każdy wielomian o współczynnikach zespolonych stopnia n ma przynajmniej jeden pierwiastek zespolony. W tej właśnie wersji udowodnił je w 1799 r. Gauss – później Gauss podał kilkanaście innych dowodów zasadniczego twierdzenia algebry. Przed Gaussem dowód zasadniczego twierdzenia podał również Jean d'Alembert, jednak jego dowód zawierał nieścisłości i nie został powszechnie uznany.
Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia n może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej n. Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (ta uwaga jest wykorzystywana w jednym z dowodów zasadniczego twierdzenia).
Określenie "zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry" wydaje się dziś nieco przesadne, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków. Kwestia ta została ostatecznie rozwiązana na początku XIX w. dzięki pracom Evariste'a Galois i Nielsa Abela. Niezależnie od siebie udowodnili oni, że równanie algebraiczne stopnia wyższego niż 4 nie może zostać rozwiązane wyłącznie za pomocą operacji algebraicznych oraz pierwiastkowania.
