Теорема Јегорова

Из пројекта Википедија

У математици, теорема Јегорова тврди да низ мерљивих функција који конвергира скоро свуда заправо конвергира равномерно на неком подскупу мере по жељи блиске мери целог простора.

Овај важан исказ теорије мере назван је у част руског математичара Дмитрија Фјодоровича Јегорова. Користи се у доказу теореме Лузина (Лузин је био Јегоровљев ученик).

[уреди] Исказ

Нека је (X, Σ, μ) мерљив простор коначне мере (μ(X) < ∞) и f_n низ мерљивих функција који конвергира μ-скоро свуда ка f. Тада за свако ε > 0 можемо наћи подскуп X_ε ⊂ X такав да је μ(X_ε) < ε и да низ f_n конвергира равномерно ка f на X \ X_ε.

Другим речима, конвергенција скоро свуда повлачи битно јачу равномерну конвергенцију ван скупа прозвољно мале мере. Ова врста конвергенције назива се скоро равномернa конвергенцијa.

Доказ

Означимо f_j(x)-f(x)|<1/i" />. Како $f_n\to f$ скоро свуда, то постоји скуп X₀ мере нула такав да је за свако i

$X\setminus X_0\subset \bigcup_{m\in{\mathbb N}}\bigcap_{n>m}X_{i,n}$ ,

односно, применом де Морганових правила,

$\bigcap_{m\in{\mathbb N}}\bigcup_{n>m}(X\setminus X_{i,n})\subset X_0$ .

Скупови $X^{(i)}_m:=\cup_{n>m}(X\setminus X_{i,n})$ чине опадајући низ ( $\cdots\supset X^{(i)}_m\supset X^{(i)}_{m+1}\supset\cdots$ ) скупова коначне мере чији је пресек према претходној једначини мере нула, те је према непрекидности мере одозго $\lim_{m\to\infty}\mu(X^{(i)}_m)=0$ . Посебно, можемо изабрати m_i тако да је

$\mu(X^{(i)}_{m_i})<\epsilon/2^i$ .

Нека је

$X_{\epsilon}=\bigcup_{i\in{\mathbb N}}X^{(i)}_{m_i}$ .

Према конструкцији и пребројивој субадитивности мере је $\mu(X_{\epsilon})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mu(X^{(i)}_{m_i})\leq\sum_{i=1}^{\infty}\epsilon/2^i=\epsilon$ .

f_n конвергира ка f равномерно на X_ε. И заиста, за дато δ > 0 можемо наћи i₀ тако да је 1 / i₀ < δ; тада за свако

$x\in X\setminus X_{\epsilon}=\bigcap_{i\in{\mathbb N}}\bigcap_{n>m_i}X_{i,n}$

вреди f_n(x) − f(x) | < 1 / i₀ < δ за све n > m_i, дакле f_n − f | < δ на $X\setminus X_{\epsilon}$ , како је и требало доказати.

Услов да је простор коначне мере је неопходан. На пример, на скупу реалних бројева са Лебеговом мером (на било алгебри Борел- или Лебег-мерљивих скупова), ако је f_n карактеристична функција интервала [n, n+1], низ f_n конвергира свуда (тачка-по-тачка) ка нули, али не постоји ниједан скуп коначне мере ван којег је ова конвергенција равномерна.

Добављено из "http://sr.wikipedia.org../../../%D1%82/%D0%B5/%D0%BE/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%88%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%B0_f2ce.html"

Категорије страница: Математичке теореме · Теорија мере

Теорема Јегорова

Из пројекта Википедија

[уреди] Исказ

Views

навигација

Претрага

Други језици