Теорема Егорова
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на его достаточно большом подмножестве.
[править] Формулировка
Пусть дано пространство с конечной мерой 
, так что 
, и определённая на нём последовательность измеримых функций 
, сходящаяся почти всюду к f. Тогда 
, такое что 
, и последовательность {fn} равномерно сходится к f на 
.
[править] Замечания
- Сходимость, выводимая теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
- Конечность μ(X) принципиальна.
Контрпример. Пусть 
, где 
— борелева σ-алгебра на 
, а m — мера Лебега. Заметим, что 
. Пусть
![f_n(x) = \mathbf{1}_{[n,n+1]}(x),\; x\in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}](../../../math/1/5/7/15726644d114c862ae552b575b3342ed.png)
,
где 
обозначает индикатор-функцию множества A. Тогда {fn} сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком множестве конечной меры.
